三角形ABCにおいて、点Qが辺ACを3:1に内分し、点Rが辺ABを1:3に内分するとき、線分COとORの比（CO:OR）を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Qが辺ACを3:1に内分し、点Rが辺ABを1:3に内分するとき、線分COとORの比（CO:OR）を求める問題です。

2. 解き方の手順

この問題は、メネラウスの定理またはチェバの定理を用いて解くことができます。ここではメネラウスの定理を用いる方法を示します。

メネラウスの定理は、三角形とその三角形の辺を延長した直線が交わるときに成り立つ定理です。

ここでは、三角形ABOと直線RCに注目します。

メネラウスの定理より、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CO} \cdot \frac{OQ}{QA} = 1$

与えられた条件から、AR:RB = 1:3なので、$\frac{AR}{RB} = \frac{1}{3}$。

また、AQ:QC = 3:1なので、$\frac{AQ}{QC} = 3$、したがって$\frac{QC}{AQ} = \frac{1}{3}$。

OQ:QC = 1:1 なので $\frac{OQ}{QC} = 1$となる。

BC = BO + OC なので、BO = x, CO = y とおくと、

$\frac{1}{3} \cdot \frac{BO + CO}{CO} \cdot \frac{OQ}{QA} = 1$

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x+y}{y} \cdot \frac{1}{3} = 1$

$\frac{x+y}{y} = 9$

$x+y = 9y$

$x = 8y$

つまり、BO : OC = 8:1

$\frac{CO}{OR} = \frac{3}{1}$

3. 最終的な答え

1 : 8