底面の半径が1 cm、母線の長さが4 cmの円錐がある。底面の円周上の点Aから側面を1周させてAまで糸をかける。糸の長さが最も短くなるとき、糸と底面の円周ではさまれた部分の表面積を求める。

1. 問題の内容

底面の半径が1 cm、母線の長さが4 cmの円錐がある。底面の円周上の点Aから側面を1周させてAまで糸をかける。糸の長さが最も短くなるとき、糸と底面の円周ではさまれた部分の表面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円錐の展開図を考える。展開図は扇形になる。扇形の半径は母線の長さ4 cmである。扇形の弧の長さは底面の円周の長さに等しい。底面の半径が1 cmなので、底面の円周は $2\pi \times 1 = 2\pi$ cmである。

(2) 扇形の中心角を求める。扇形の弧の長さは $2\pi$ cm、半径は4 cmなので、中心角を $\theta$ (ラジアン)とすると、 $4\theta = 2\pi$。 よって、$\theta = \frac{\pi}{2}$である。これは90度である。

(3) 糸の長さが最も短くなるのは、展開図上でAからAへ直線を引いたときである。扇形の中心をOとすると、OA = 4 cm, OA = 4 cm, 角AOA = 90度なので、三角形OAAは直角二等辺三角形になる。この直角二等辺三角形の面積は、$\frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$ $cm^2$。

(4) 扇形の面積は、 $\frac{1}{2} \times 4 \times 2\pi = 4\pi$ $cm^2$。

(5) 求める面積は、扇形から三角形を引いたものなので、$4\pi - 8$ $cm^2$。

3. 最終的な答え

$4\pi - 8$ $cm^2$