与えられた行列式を因数分解する問題です。画像には２つの問題があります。 (1) $ \begin{vmatrix} x & y & y & y \\ y & x & y & y \\ y & y & x & y \\ y & y & y & x \end{vmatrix} $ (2) $ \begin{vmatrix} 1 & x & x & x \\ 1 & 2 & y & y \\ 1 & 2 & 3 & z \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{vmatrix} $
2025/7/30
はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。
1. 問題の内容
与えられた行列式を因数分解する問題です。画像には２つの問題があります。
(1)
\begin{vmatrix}
x & y & y & y \\
y & x & y & y \\
y & y & x & y \\
y & y & y & x
\end{vmatrix}
(2)
\begin{vmatrix}
1 & x & x & x \\
1 & 2 & y & y \\
1 & 2 & 3 & z \\
1 & 2 & 3 & 4
\end{vmatrix}
2. 解き方の手順
(1)
元の行列式をとします。
$A = \begin{vmatrix}
x & y & y & y \\
y & x & y & y \\
y & y & x & y \\
y & y & y & x
\end{vmatrix}$
まず、各行から第1行を引きます。
$A = \begin{vmatrix}
x & y & y & y \\
y-x & x-y & 0 & 0 \\
y-x & 0 & x-y & 0 \\
y-x & 0 & 0 & x-y
\end{vmatrix}$
第2行以降から(y-x)をくくりだします。
$A = (x-y)^3 \begin{vmatrix}
x & y & y & y \\
-1 & 1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 1
\end{vmatrix}$
次に、第2行以降に第1行を加えます。
$A = (x-y)^3 \begin{vmatrix}
x & y & y & y \\
-1 & 1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 1
\end{vmatrix} = (x-y)^3 \begin{vmatrix}
x & y & y & y \\
x-1 & y+1 & y & y \\
x-1 & y & y+1 & y \\
x-1 & y & y & y+1
\end{vmatrix}$
ここから、第2列以降から第1列を引きます。
$A = (x-y)^3 \begin{vmatrix}
x & y-x & y-x & y-x \\
y & x-y & 0 & 0 \\
y & 0 & x-y & 0 \\
y & 0 & 0 & x-y
\end{vmatrix}$
もしくは、各列を足し合わせて、第1列にを出現させます。
$A = \begin{vmatrix}
x+3y & y & y & y \\
x+3y & x & y & y \\
x+3y & y & x & y \\
x+3y & y & y & x
\end{vmatrix} = (x+3y) \begin{vmatrix}
1 & y & y & y \\
1 & x & y & y \\
1 & y & x & y \\
1 & y & y & x
\end{vmatrix}$
各行から第1行を引くと
$A = (x+3y) \begin{vmatrix}
1 & y & y & y \\
0 & x-y & 0 & 0 \\
0 & 0 & x-y & 0 \\
0 & 0 & 0 & x-y
\end{vmatrix} = (x+3y)(x-y)^3$
(2)
$B = \begin{vmatrix}
1 & x & x & x \\
1 & 2 & y & y \\
1 & 2 & 3 & z \\
1 & 2 & 3 & 4
\end{vmatrix}$
第2行から第1行を引く、第3行から第2行を引く、第4行から第3行を引きます。
$B = \begin{vmatrix}
1 & x & x & x \\
0 & 2-x & y-x & y-x \\
0 & 0 & 3-y & z-y \\
0 & 0 & 0 & 4-z
\end{vmatrix}$
行列式は対角成分の積になります。
3. 最終的な答え
(1)
(2)