三角形ABCにおいて、点Qは辺ABを3:2に内分し、点Rは辺BCを3:4に内分する。このとき、線分COと線分OQの長さの比、すなわちCO:OQを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Qは辺ABを3:2に内分し、点Rは辺BCを3:4に内分する。このとき、線分COと線分OQの長さの比、すなわちCO:OQを求める問題です。

2. 解き方の手順

チェバの定理を利用します。チェバの定理とは、三角形ABCにおいて、頂点A, B, Cからそれぞれ対辺に線を引き、それらが一点Oで交わる時、次の関係が成り立つというものです。

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

しかし、本問題では、チェバの定理そのものではなく、メネラウスの定理を利用する方が容易です。

三角形ABRにおいて、直線CQが交わると考え、メネラウスの定理を適用すると、

$\frac{AQ}{QB} \cdot \frac{BC}{CR} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$

問題文より、AQ:QB = 3:2, BC:CR = (3+4):3 = 7:3 であるから、

$\frac{3}{2} \cdot \frac{7}{3} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$

$\frac{7}{2} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$

よって、$\frac{RO}{OA} = \frac{2}{7}$ となります。

したがって、AR:RO:OA = (RO+OA):RO:OA=(2+7):2:7=9:2:7

次に、三角形CBQにおいて、直線ARが交わると考え、メネラウスの定理を適用すると、

$\frac{CR}{RB} \cdot \frac{BA}{AQ} \cdot \frac{QO}{OC} = 1$

問題文より、CR:RB = 3:4, BA:AQ = (3+2):3 = 5:3 であるから、

$\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{QO}{OC} = 1$

$\frac{5}{4} \cdot \frac{QO}{OC} = 1$

よって、$\frac{QO}{OC} = \frac{4}{5}$ となります。

したがって、CO:OQ = 5:4 となります。

3. 最終的な答え

5:4