三角形ABCにおいて、点Q, Rが辺AB, BCをそれぞれAQ:QB = 3:2, BR:RC = 1:3に内分するとき、線分AO:ORの比を求めよ。ただし、Oは線分ARとCQの交点である。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Q, Rが辺AB, BCをそれぞれAQ:QB = 3:2, BR:RC = 1:3に内分するとき、線分AO:ORの比を求めよ。ただし、Oは線分ARとCQの交点である。

2. 解き方の手順

この問題は、チェバの定理とメネラウスの定理を利用して解きます。

まず、チェバの定理より

$\frac{AQ}{QB} \cdot \frac{BR}{RC} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$

が成り立ちます。問題文より、$AQ:QB = 3:2$、$BR:RC = 1:3$なので、

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$

$\frac{CP}{PA} = 2$

つまり、$AP:PC = 1:2$です。

次に、三角形ABRと直線CQにメネラウスの定理を適用すると、

$\frac{AQ}{QB} \cdot \frac{BC}{CR} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$

が成り立ちます。問題文より、$AQ:QB = 3:2$, $BR:RC = 1:3$なので、$BC:CR = (BR+RC):CR = (1+3):3 = 4:3$です。したがって、

$\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$

$2 \cdot \frac{RO}{OA} = 1$

$\frac{RO}{OA} = \frac{1}{2}$

よって、$AO:OR = 2:1$となります。

3. 最終的な答え

AO:OR = 2:1