三角形ABCにおいて、点Q, Rが辺AC, ABを図に示された比に内分するとき、BO : OQを求める問題です。 図から AR:RB = 2:1, AQ:QC = 2:1であることがわかります。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Q, Rが辺AC, ABを図に示された比に内分するとき、BO : OQを求める問題です。 図から AR:RB = 2:1, AQ:QC = 2:1であることがわかります。

2. 解き方の手順

メネラウスの定理を用いて解きます。三角形ACRと直線BQに着目します。

メネラウスの定理より、

$\frac{AQ}{QC} \cdot \frac{CB}{BR} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$

与えられた比から、$AQ:QC = 2:1$です。

また、$AR:RB = 2:1$より、$BR:AB = 1:3$なので、$CB:BR=3:1$です。

これらの比をメネラウスの定理の式に代入すると、

$\frac{2}{1} \cdot \frac{3}{1} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$

$\frac{6}{1} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$

$\frac{RO}{OA} = \frac{1}{6}$

したがって、$OA:OR = 6:1$

次に、三角形ABQと直線CRに着目し、同様にメネラウスの定理を用いると、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{QO}{OA} = 1$

与えられた比より、$AR:RB = 2:1$です。

また、$AQ:QC = 2:1$なので、$AC:QC = 3:1$より、$BC:CQ=3:1$です。

$\frac{AR}{RB} = \frac{2}{1}$

$\frac{CQ}{AC}=\frac{1}{3}$

$\frac{AC}{CQ}=\frac{3}{1}$

したがって、

$\frac{2}{1} \cdot \frac{BO}{OC} \cdot \frac{1}{1} = 1$

メネラウスの定理より、

$\frac{BC}{CQ}=3/1$と書いていますが、$BC/CQ$の比は$BC = BO + OC$と表せるので、少し変更する必要がありました。

チェバの定理を用いる方法で考えてみます。

チェバの定理より、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{AQ}{AC} =1$

$\frac{2}{1}\cdot\frac{CQ}{BC} = \frac{3/1}{1} /3 = 1$.

三角形ABCに点Oがあり、AO、BO、COが対辺とそれぞれR、Q、Pで交わるとき，

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

三角形ABQと直線CRを考えると

$\frac{AR}{RB} * \frac{BC}{CQ} * \frac{QO}{OA}=1$

$\frac{2}{1}* \frac{OC+OB}{1} *\frac{OQ}{2} =1$

分割比の定理より、$\frac{BO}{OQ} = \frac{AR}{RB} + \frac{AC}{CQ}$ となるので、

$\frac{AR}{RB} = \frac{2}{1}$

$\frac{AC}{CQ}=3/1$なので

$\frac{BO}{OQ}=\frac{2}{1} + \frac{1/3}{1} = \frac{2}{1}+1 = \frac{5}{1}$

$\frac{BO}{OQ} = 5$

3. 最終的な答え

BO : OQ = 5 : 1