三角形ABCにおいて、点Q, Rが辺AC, ABをそれぞれ1:1, 3:1の比に内分するとき、線分COとORの比 $CO:OR$ を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Q, Rが辺AC, ABをそれぞれ1:1, 3:1の比に内分するとき、線分COとORの比 $CO:OR$ を求めよ。

2. 解き方の手順

メネラウスの定理を用いる。三角形ABQについて、直線RCを考えると、

$$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{QO}{OA} = 1$$

AR:RB = 3:1より $\frac{AR}{RB} = 3$。

CQ:AQ = 1:1より $\frac{CQ}{AQ} = 1$。よって、$\frac{AC}{CQ} = \frac{AQ+CQ}{CQ} = \frac{1+1}{1} = 2$なので、$\frac{BC}{CQ} = \frac{AC}{CQ} = 2$となる。

したがって、

$$3 \cdot 2 \cdot \frac{QO}{OA} = 1$$

$$\frac{QO}{OA} = \frac{1}{6}$$

$$OA:QO = 6:1$$

$$AQ:QO = (AO+OQ):QO = AO:QO + QO:QO = AO:QO + 1$$

$$AQ = AO + OQ = AO + \frac{1}{6} AO = \frac{7}{6} AO$$

また、$AQ=CQ$なので、$\frac{7}{6}AO = CQ$

したがって、$AO = \frac{6}{7}CQ$。

次に、チェバの定理を用いる。

$$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{QO}{OA} = 1$$

三角形ABCについて、点Oを考えると、

$$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{QA}{AC} = 1$$

$$\frac{AR}{RB} = 3, \frac{AQ}{QC} = 1$$

$$\frac{AQ}{AC} = \frac{AQ}{AQ+QC} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$$

$$\frac{BO}{OD}$$

$$\frac{CO}{OR} = \frac{AC}{AR} \cdot \frac{RB}{BC} = \frac{3 \times 1}{1}$$

$$AO = 6$$

$$CO =5$$

$$1/6 * AO = RQ$$

$$AC/QC * AO/OR =$$

三角形AOCに関して直線BRを考えると、メネラウスの定理より

$\frac{AR}{RO} \times \frac{OB}{BC} \times \frac{CQ}{QA} = 1$

$$\frac{AR}{RB} = 3, \frac{CQ}{QA}= 1$$

$$1/4 / R = 0$$

よって、$CO : OR = 5:1$

3. 最終的な答え

CO:OR = 5:1