三角形ABCにおいて、点Qが辺BCを2:3に内分し、点Rが辺ACを2:1に内分するとき、線分BOと線分ORの比を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Qが辺BCを2:3に内分し、点Rが辺ACを2:1に内分するとき、線分BOと線分ORの比を求める問題です。

2. 解き方の手順

この問題はチェバの定理とメネラウスの定理を利用して解くことができます。

まず、チェバの定理より、

$\frac{AR}{RC} \cdot \frac{CQ}{QB} \cdot \frac{BP}{PA} = 1$ が成り立ちます。

図から、$AR:RC = 2:1$、$CQ:QB = 3:2$ であるので、

$\frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{BP}{PA} = 1$

$3 \cdot \frac{BP}{PA} = 1$

$\frac{BP}{PA} = \frac{1}{3}$

したがって、$AP:PB = 3:1$ となります。

次に、三角形ARCに対して直線BOQでメネラウスの定理を用いると、

$\frac{AO}{OR} \cdot \frac{RB}{BC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{AR}{RC} \times \frac{CQ}{QB} \times \frac{BO}{OA} = 1$

$\frac{AO}{OR} \cdot \frac{BQ}{QC} \cdot \frac{CA}{AR} = 1$

$\frac{AO}{OR} \cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{QB}{BA} = 1$

次に、三角形BCRに対して直線AOでメネラウスの定理を用いると、

$\frac{BA}{AR} \cdot \frac{RO}{OC} \cdot \frac{CQ}{QB} = 1$

$\frac{BO}{OR}$を求めるために、三角形ACQに点R,O,Bが一直線上にあるとき、メネラウスの定理より、

$\frac{AR}{RC} \cdot \frac{CB}{BQ} \cdot \frac{QO}{OA} = 1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{BO}{OA} = 1$

$\frac{CB}{BQ} = \frac{BQ+QC}{BQ} = \frac{2+3}{2} = \frac{5}{2}$

△BCRに、AOの直線が交わるとき、メネラウスの定理を適用すると

$\frac{CQ}{QB} \cdot \frac{BO}{OR} \cdot \frac{RA}{AC}=1$

$\frac{3}{2} \cdot \frac{BO}{OR} \cdot \frac{2}{3} = 1$

$\frac{BO}{OR}=1$

$\frac{3}{2} \times \frac{BO}{OR} \times \frac{2}{3}=1$

$\frac{AR}{RC} \cdot \frac{CB}{BQ} \cdot \frac{QO}{OA} = 1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{BO}{OA} = 1$

$\frac{5BO}{OA} = 1$

よって、$\frac{BO}{OR}=5:1$

3. 最終的な答え

BO : OR = 5 : 1