三角形ABCにおいて、点Q、Rがそれぞれ辺BC, ACを $BQ:QC = 1:1$, $AR:RC = 1:2$ の比に内分するとき、$AO:OQ$ を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Q、Rがそれぞれ辺BC, ACを $BQ:QC = 1:1$, $AR:RC = 1:2$ の比に内分するとき、$AO:OQ$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この問題はチェバの定理の逆を利用して解きます。

チェバの定理より、直線AQとBRの交点をOとすると、

$\frac{AR}{RC} \cdot \frac{CQ}{QB} \cdot \frac{BP}{PA} = 1$ が成り立ちます。

問題より、$AR:RC = 1:2$, $BQ:QC = 1:1$ なので、$CQ:QB = 1:1 = 1$となります。したがって、

$\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{BP}{PA} = 1$

$\frac{BP}{PA} = 2$

すなわち、$AP:PB = 1:2$ となります。

次に、メネラウスの定理を三角形BCRと直線AQに適用します。

$\frac{BA}{AP} \cdot \frac{PO}{OR} \cdot \frac{RC}{CB} = 1$

$BA=BP+PA$ より $BA=3PA$ なので$\frac{BA}{AP} = 3$

$\frac{RC}{CB} = \frac{RC}{CQ+QB+RC} = \frac{2}{1+1+2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

したがって、

$3 \cdot \frac{AO}{OQ} \cdot \frac{1}{2} = 1$ となり、

$\frac{AO}{OQ} = \frac{2}{3}$

よって、$AO:OQ = 3:1$

3. 最終的な答え

AO:OQ = 3 : 1