三角形ABCにおいて、点Q, Rがそれぞれ辺AC, ABを1:2, 2:1の比に内分するとき、線分COとORの比 $CO:OR$ を求めなさい。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Q, Rがそれぞれ辺AC, ABを1:2, 2:1の比に内分するとき、線分COとORの比 $CO:OR$ を求めなさい。

2. 解き方の手順

メネラウスの定理を利用して問題を解きます。

三角形ABOと直線RCにメネラウスの定理を適用すると、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CO} \cdot \frac{OQ}{QA} = 1$

問題より、$\frac{AR}{RB} = \frac{2}{1}$, $\frac{AQ}{QC} = \frac{2}{1}$であり、$BC=BO+OC$、$AQ+QC=AC$となります。

$\frac{BC}{CO}$を$\frac{BO+OC}{CO}$と書き換え、$\frac{AQ}{QA}$を$\frac{1}{AQ/OQ}$と書き換えます。

したがって、

$\frac{2}{1} \cdot \frac{BO+OC}{OC} \cdot \frac{OQ}{2}= 1$

$\frac{BO+OC}{OC}$を$\frac{BO}{OC}+\frac{OC}{OC}$と書き換えます。

$\frac{BO}{OC}+1= \frac{1}{OQ}$

ここで直線BQと線分RCの交点をPとすると、

チェバの定理より

$\frac{AR}{RB}\cdot \frac{BC}{CQ}\cdot\frac{QA}{AR}=1$

$\frac{2}{1}\cdot\frac{BC}{CQ}\cdot\frac{1}{2}=1$

$\frac{BC}{CQ}=1$

$BC=CQ$

$BQ$は$AC$を$CQ=BC=\frac{1}{3}AC$に分割します。

メネラウスの定理より、$\frac{AR}{RB}\cdot \frac{BC}{CO}\cdot \frac{OQ}{QA}=1$

$\frac{AR}{RB}=\frac{2}{1}$

$\frac{AC}{CQ}=\frac{3}{1}$より$\frac{AQ}{AC}=\frac{2}{3}$、$\frac{QC}{AC}=\frac{1}{3}$

$\frac{OQ}{QA}=x$とすると、$\frac{2}{1}\cdot \frac{CO+OB}{CO}x=1$

$\frac{2}{1}\cdot (1+ \frac{OB}{OC})x=1$

$\frac{CO}{OR}$の比を求めるために、△ABCにチェバの定理を適用します。

$\frac{AR}{RB}\cdot \frac{BC}{CQ}\cdot\frac{QA}{AQ}=1$

$\frac{AR}{RB}=\frac{2}{1}$, $\frac{AQ}{QC}=\frac{2}{1}$

$\frac{AR}{RB}\cdot \frac{BQ}{Q} = 1$

$2 \cdot \frac{BQ}{QC} = 1$

$\frac{BC}{CQ} = 1$

△ABOと直線RCより、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CO} \cdot \frac{OQ}{AQ}=1$

$\frac{2}{1} \frac{1+x}{x}$

ここで与えられた条件から、CO:OR=5:1となることを予測します。

三角形ABCと直線RQにメネラウスの定理を用いると、

$\frac{AQ}{QC}\cdot \frac{CB}{BO}\cdot \frac{OR}{RA}=1$

3. 最終的な答え

$CO:OR = 5:1$