三角形ABCにおいて、点Q, Rがそれぞれ辺AB, BCを $AQ:QB = 3:1$、 $BR:RC = 1:2$ の比に内分するとき、$AO:OR$ を求めよ。ここで、Oは線分ARと線分CQの交点である。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Q, Rがそれぞれ辺AB, BCを $AQ:QB = 3:1$、 $BR:RC = 1:2$ の比に内分するとき、$AO:OR$ を求めよ。ここで、Oは線分ARと線分CQの交点である。

2. 解き方の手順

この問題は、チェバの定理とメネラウスの定理を利用して解くことができます。

(1) チェバの定理を用いる。

三角形ABCにおいて、線分AR、CQ、BP (Pは辺AC上の点) が一点で交わるとき、

$$\frac{AQ}{QB} \cdot \frac{BR}{RC} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$$

が成り立ちます。この問題では、線分ARと線分CQが点Oで交わっているので、BOとACの交点をPとすると、

$\frac{AQ}{QB} = \frac{3}{1}$、$\frac{BR}{RC} = \frac{1}{2}$ なので、

$$\frac{3}{1} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$$

$$\frac{CP}{PA} = \frac{2}{3}$$

(2) メネラウスの定理を用いる。

三角形ABRにおいて、直線CQが辺AR, RB, BAとそれぞれ点O, R, Qで交わっているので、

$$\frac{AQ}{QB} \cdot \frac{BC}{CR} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$$

$\frac{AQ}{QB} = \frac{3}{1}$、$\frac{BC}{CR} = \frac{3}{2}$ なので、

$$\frac{3}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$$

$$\frac{RO}{OA} = \frac{2}{9}$$

$$\frac{OA}{RO} = \frac{9}{2}$$

したがって、

$$AO:OR = 9:2$$

3. 最終的な答え

9:2