三角形ABCにおいて、点Qは辺BCを1:2に内分し、点Rは辺ACを1:3に内分するとき、線分AOとOQの比AO:OQを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Qは辺BCを1:2に内分し、点Rは辺ACを1:3に内分するとき、線分AOとOQの比AO:OQを求める問題です。

2. 解き方の手順

この問題はチェバの定理とメネラウスの定理を利用して解くことができます。

チェバの定理を使うと、線分BOが線分ARと交わる点をOとしたときの比を求めることができます。メネラウスの定理を使うと、求めた線分比から、AO:OQの比を求めることができます。

まず、チェバの定理を適用します。チェバの定理とは、三角形ABCにおいて、各辺に点D,E,Fがあり、AD, BE, CFが一点で交わるとき、

$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} = 1$

が成立するというものです。

この問題では、点Q, R, および線分BOと線分ARの交点Oについて、チェバの定理を適用します。

図から、

$\frac{BQ}{QC} = \frac{1}{2}$

$\frac{CR}{RA} = \frac{1}{3}$

と与えられています。

したがって、チェバの定理より、

$\frac{BQ}{QC} \cdot \frac{CR}{RA} \cdot \frac{AP}{PB} = 1$ (Pは線分AB上のある点)

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{AP}{PB} = 1$

$\frac{AP}{PB} = 6$

次に、メネラウスの定理を三角形BCRと直線AQに適用します。

メネラウスの定理とは、三角形ABCにおいて、直線lが辺AB, BC, CA（またはその延長）とそれぞれ点D, E, Fで交わる時、

$\frac{AD}{DB} \cdot \frac{BE}{EC} \cdot \frac{CF}{FA} = 1$

が成立するというものです。

三角形BCRと直線AQにおいて、

$\frac{BQ}{QC} \cdot \frac{CA}{AR} \cdot \frac{RO}{OB} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{RO}{OB} = 1$

$\frac{RO}{OB} = \frac{3}{2}$

$\frac{OB}{RO} = \frac{2}{3}$

最後に、三角形ABOと直線RQにメネラウスの定理を適用します。

$\frac{AR}{RC} \cdot \frac{CQ}{QB} \cdot \frac{BO}{OA} = 1$

$\frac{3}{1} \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{BO}{OA} = 1$

$\frac{BO}{OA} = \frac{1}{6}$

$\frac{OA}{BO} = 6$

ここで、

$\frac{AO}{OQ} = \frac{AR}{RC} \cdot \frac{CB}{BQ} = \frac{3}{1} \cdot \frac{3}{1}=9$

したがって、

$\frac{AO}{OQ} = \frac{6}{1}$ より、AO:OQ = 6:1

3. 最終的な答え

6:1