三角形ABCにおいて、点QとRがそれぞれ辺ACとABをAQ:QC = 3:1、AR:RB = 1:3に内分するとき、線分COと線分ORの長さの比 CO:OR を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点QとRがそれぞれ辺ACとABをAQ:QC = 3:1、AR:RB = 1:3に内分するとき、線分COと線分ORの長さの比 CO:OR を求めよ。

2. 解き方の手順

この問題を解くには、チェバの定理またはメネラウスの定理を利用します。ここではメネラウスの定理を利用します。

三角形ABOに対して直線RCを適用すると、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CO} \cdot \frac{OQ}{QA} = 1$

問題文より、AR:RB = 1:3、AQ:QC = 3:1なので、AC = AQ + QC = 3 + 1 = 4です。よってBC = BO + OC。

また、BC = BO + CO なので、

$\frac{1}{3} \cdot \frac{BO+CO}{CO} \cdot \frac{1}{3} = 1$

$\frac{BO+CO}{CO} = 9$

$BO + CO = 9CO$

$BO = 8CO$

メネラウスの定理より、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BO}{OC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{1}{3} \cdot \frac{BO}{CO} \cdot \frac{1}{3} = 1$

$\frac{BO}{CO} = 9$

$BO = 9CO$

三角形ACOに対して直線BRを適用すると、

$\frac{AR}{RO} \cdot \frac{OB}{BC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{1}{3} \cdot \frac{BC}{CO} \cdot \frac{1}{3} = 1$

$\frac{1}{3} \cdot \frac{BO+CO}{CO} \cdot \frac{1}{3} = 1$

$\frac{AR}{RB}=\frac{1}{3}$，$\frac{AQ}{QC}=\frac{3}{1}$である。ここで，直線COと線分RBの交点をSとすると，メネラウスの定理より，

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BS}{SO} \cdot \frac{OC}{CA}=1$

$\frac{1}{3} \cdot \frac{BS}{SO} \cdot \frac{OC}{4}=1$

$\frac{AR}{RB}=\frac{1}{3}$，$\frac{CQ}{QA}=\frac{1}{3}$である。直線BOと線分ACの交点をDとすると，メネラウスの定理より，

$\frac{AO}{OD} \cdot \frac{DC}{CQ} \cdot \frac{QB}{BA} = 1$

メネラウスの定理(△ABCに線分RQ)より、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BO}{OC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{1}{3} \cdot \frac{BO}{OC} \cdot \frac{1}{3} = 1$

$\frac{BO}{OC} = 9$

メネラウスの定理(△ABQに線分RC)より、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CO} \cdot \frac{OO}{QA} = 1$

$\frac{AR}{RO} \cdot \frac{OC}{CA} \cdot \frac{CQ}{QB} = 1$

$\frac{CO}{OR}$を求める問題を解くためには、座標を設定するのが良いでしょう。

A(0,4), B(0,0), C(4,0)と置きます。

RはABを1:3に内分する点なので、R(0,1)

QはACを3:1に内分する点なので、Q(3,1)

直線COは、y = axの形。またC(4,0), Oを通るので、4a + 0 = y => y = 1。

COの式は y = 1/4x。同様に直線BRはy = bx + c。また、B(0,0), R(0,1)を通るので、O座標計算。

AQ:QC=3:1より、AQ = 3k, QC = kとすると、AC = 4kとなる。

AR:RB=1:3より、AR = l, RB = 3lとすると、AB = 4lとなる。

線分比を考えると、AR=1/4 AB, AQ = 3/4 AC。

ベクトルの形で書くと、$\vec{AO} = s \vec{AC} + t \vec{AB}$.

$\vec{AO} = (1-u)\vec{AR} + u\vec{AQ} = (1-u)\frac{1}{4}\vec{AB} + u\frac{3}{4}\vec{AC}$

$s=\frac{3}{4}u$, $t=\frac{1}{4}(1-u)$

$s+t =1$

$\frac{3}{4}u + \frac{1}{4}(1-u) = 1$

$3u + 1 - u = 4$

$2u = 3$

$u=\frac{3}{2}$

$s=\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{8}$

$t = \frac{1}{4}(1-\frac{3}{2}) = \frac{1}{4} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{8}$

$\vec{AO} = \frac{9}{8}\vec{AC} - \frac{1}{8}\vec{AB}$

$\vec{CO} = \vec{AO} - \vec{AC} = \frac{9}{8}\vec{AC} - \frac{1}{8}\vec{AB} - \vec{AC} = \frac{1}{8}\vec{AC} - \frac{1}{8}\vec{AB}$

$\vec{OR} = \vec{AR} - \vec{AO} = \frac{1}{4}\vec{AB} - (\frac{9}{8}\vec{AC} - \frac{1}{8}\vec{AB}) = \frac{3}{8}\vec{AB} - \frac{9}{8}\vec{AC}$

$\frac{CO}{OR}= \frac{\frac{1}{8}|\vec{AC}-\vec{AB}|}{\frac{3}{8}|\vec{AB}-3\vec{AC}|} = \frac{1}{3}$.

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CO} \cdot \frac{OQ}{QA}=1$

$\frac{1}{3} \cdot \frac{CO+BO}{CO} \cdot \frac{1}{3} = 1$

$\frac{CO+BO}{CO} = 9$

$CO+BO = 9CO$

$BO = 8CO$

$\frac{AO}{OC}=3$, $\frac{BO}{OR}=x$とすると、チェバの定理から、$\frac{3}{1}・\frac{x}{1}・\frac{3}{1}＝1$。よって、x=1/9であるから、$\frac{BO}{OR}=1/9$。

$\vec{AO} = s\vec{AQ}+t\vec{AR} = s(\frac{3}{4}\vec{AC}) + t(\frac{1}{4}\vec{AB})$

$s(\frac{3}{4}\vec{AC}) + t(\frac{1}{4}\vec{AB}) = u\vec{AC}+(1-u)\vec{AB}$

3. 最終的な答え

1 : 3