三角形ABCにおいて、点Q, Rがそれぞれ辺AC, ABを、AQ:QC=3:1, AR:RB=1:3の比に内分するとき、CO:ORの比を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Q, Rがそれぞれ辺AC, ABを、AQ:QC=3:1, AR:RB=1:3の比に内分するとき、CO:ORの比を求める問題です。

2. 解き方の手順

この問題は、チェバの定理またはメネラウスの定理を利用して解くことができます。ここではメネラウスの定理を利用した解法を示します。

三角形ABOに直線RCを適用してメネラウスの定理を用いると、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CO} \cdot \frac{OQ}{QA} = 1$

$\frac{AR}{RB}=\frac{1}{3}$であり、$AQ:QC=3:1$ より、$AC = AQ+QC = 3QC+QC=4QC$となるため、$QC = \frac{1}{4}AC$、また$AQ=AC-QC = AC - \frac{1}{4}AC = \frac{3}{4}AC$。よって$\frac{OQ}{QA} = \frac{OQ}{\frac{3}{4}AC}$.

$BC=BO+OC$より、

$\frac{BC}{CO} = \frac{BO+OC}{CO} = \frac{BO}{CO}+1$

$\frac{1}{3} \cdot \frac{BO+CO}{CO} \cdot \frac{OQ}{\frac{3}{4}AC} = 1$

$\frac{1}{3} \cdot \frac{BC}{CO} \cdot \frac{OQ}{QA} = 1$

三角形ACOに直線BRを適用してメネラウスの定理を用いると、

$\frac{CB}{BO} \cdot \frac{OR}{RA} \cdot \frac{AR}{RB} = 1$

$BC = 4QO$ と仮定し、

$\frac{3}{1} = \frac{AQ}{QC}$、$\frac{1}{3} = \frac{AR}{RB}$ であることから、

$\frac{AO}{OR} = x$とすると

$\frac{BC}{CO} \cdot \frac{AQ}{QA} =1$

$\frac{OR}{CO} = \frac{BC \cdot QA}{CO} \frac{QA}{OA} = \frac{BO}{OC}$

$\frac{4}{1}$

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BO}{OC} \cdot \frac{CQ}{QA}=1$

点Oは三角形ABCの内部にあるので、メネラウスの定理を使うのが難しいとわかる。チェバの定理を用いることを考える。

チェバの定理より、$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{AQ}{QA}=1$。

$CO:OR$を求める問題なので、方べきの定理を利用することを考える。

三角形ABCにおいて、メネラウスの定理より

$\frac{AR}{RB}\cdot \frac{BO}{OC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{1}{3} \cdot \frac{BO}{OC} \cdot \frac{1}{3} = 1$

$\frac{BO}{OC} = 9$

三角形ABOに直線RCを適用してメネラウスの定理を用いると、

$\frac{AR}{RB}\cdot \frac{BC}{CO} \cdot \frac{OQ}{QA}=1$

$\frac{1}{3} \cdot \frac{BO+CO}{CO} \cdot \frac{OQ}{3QO}=1$

$\frac{1}{3} \cdot \frac{BO}{CO}+1 \cdot \frac{1}{3}=1$

$\frac{BO}{CO} = \frac{1}{3}$

$\frac{AR}{RB}\cdot \frac{BO}{OC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{OC}{OR} = ?$

3. 最終的な答え

CO:OR = 1:8