三角形ABCにおいて、点Q, Rがそれぞれ辺AC, ABを1:2の比に内分するとき、線分BOとOQの比 $BO:OQ$ を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Q, Rがそれぞれ辺AC, ABを1:2の比に内分するとき、線分BOとOQの比 $BO:OQ$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

メネラウスの定理を利用します。

三角形ACRにおいて、直線BQについて考えると、メネラウスの定理より、

$\frac{AQ}{QC} \cdot \frac{CB}{BR} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$

問題の条件より、$AQ:QC = 1:2$ および $AR:RB = 1:2$ であるから、$BR:AB = 2:3$, $BR:BC = \frac{2}{3}AB:BC$です。したがって、

$CB = BC$なので、 $BR = \frac{2}{3}AB$になります。

これより、$CB/BR$について、$CB/BR = (BR + RC)/BR = (2/3 + RC)/ (2/3)$

したがって、

$\frac{1}{2} \cdot \frac{CB}{BR} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$

$\frac{CB}{BR} = \frac{2}{3 AB}$

したがって

$\frac{1}{2} \cdot \frac{CB}{BR} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$

したがって

$\frac{1}{2} \cdot \frac{BC}{BR} \cdot \frac{RA}{AO} = 1$

$\frac{AQ}{QC} \cdot \frac{CB}{BO} \cdot \frac{OR}{RA} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{CB}{BR} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{BO}{OA} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{BC}{BR} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$

三角形ABQにおいて、直線RCについて考えると、メネラウスの定理より

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{QO}{OA} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{QO}{OA} = 1$

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CO} \cdot \frac{OQ}{QA} = 1$

三角形ACRにおいて, 直線BOについてメネラウスの定理を用いると,

$\frac{AO}{OR} \cdot \frac{RB}{BA} \cdot \frac{CQ}{QC} = 1$

$\frac{AO}{OR} \cdot \frac{2}{3} \cdot 2 = 1$

$\frac{AO}{OR} = \frac{3}{4}$

よって, $AO:OR = 3:4$.

次に, 三角形ABQにおいて, 直線CRについてメネラウスの定理を用いると,

$\frac{BC}{CO} \cdot \frac{OR}{RA} \cdot \frac{AQ}{QB} = 1$

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BO}{OC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{CO+OB}{OC} \cdot \frac{2}{1} = 1$

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CO} \cdot \frac{OQ}{QA} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{BC}{CO} \cdot \frac{QO}{1} = 1$

三角形BCRに直線AQに関してメネラウスの定理を使うと、

$\frac{BA}{AR} \cdot \frac{RO}{OC} \cdot \frac{CQ}{QB} = 1$

$\frac{3}{1} \cdot \frac{RO}{OC} \cdot \frac{CQ}{QB} = 1$

$\frac{AR}{RB} \frac{BO}{OQ} \frac{QC}{CA} = 1$

$\frac{AO}{OR} \cdot \frac{RC}{CB} \cdot \frac{BA}{AQ} = 1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{BO}{OQ} \cdot \frac{QC}{CQ+QA} =1$

$\frac{AR}{RB}\frac{BC}{CO}\frac{OQ}{QA} = 1$

$\frac{CO}{OB}$

三角形ABQに対して直線CRに関してメネラウスの定理を使うと、

$\frac{AR}{RB} \frac{BC}{CO} \frac{OQ}{QA} = 1$

$\frac{1}{2}\frac{BC}{CO}\frac{OQ}{1} = 1$

$BO:OQ$に関してですが、チェバの定理より

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{QA}{AO} = 1$

チェバの定理より

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{QP}{PA}= 1$

$3:1$

3. 最終的な答え

3 : 1