三角形ABCにおいて、$AB = 7$, $AC = 5$, $BC = 4$であるとき、以下の値を求めよ。 (1) $\cos B$ (2) $\sin B$ (3) 三角形ABCの面積 (4) 三角形ABCの内接円の半径

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 7$, $AC = 5$, $BC = 4$であるとき、以下の値を求めよ。

(1) $\cos B$

(2) $\sin B$

(3) 三角形ABCの面積

(4) 三角形ABCの内接円の半径

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理を用いて$\cos B$を求める。

余弦定理より、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$

$5^2 = 7^2 + 4^2 - 2 \cdot 7 \cdot 4 \cdot \cos B$

$25 = 49 + 16 - 56 \cos B$

$56 \cos B = 40$

$\cos B = \frac{40}{56} = \frac{5}{7}$

(2) $\sin^2 B + \cos^2 B = 1$より$\sin B$を求める。

$\sin^2 B = 1 - \cos^2 B = 1 - (\frac{5}{7})^2 = 1 - \frac{25}{49} = \frac{24}{49}$

$\sin B = \sqrt{\frac{24}{49}} = \frac{\sqrt{24}}{7} = \frac{2\sqrt{6}}{7}$

(3) 三角形ABCの面積Sを求める。

$S = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin B$

$S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 4 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{7} = 4\sqrt{6}$

(4) 三角形ABCの内接円の半径rを求める。

$S = \frac{1}{2} r (AB + BC + AC)$

$4\sqrt{6} = \frac{1}{2} r (7+4+5)$

$4\sqrt{6} = \frac{1}{2} r (16)$

$4\sqrt{6} = 8r$

$r = \frac{4\sqrt{6}}{8} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos B = \frac{5}{7}$

(2) $\sin B = \frac{2\sqrt{6}}{7}$

(3) 三角形ABCの面積は、$4\sqrt{6}$

(4) 三角形ABCの内接円の半径は、$\frac{\sqrt{6}}{2}$

穴埋め問題の答え：

1: 5

2: 7

3: 2

4: 6

5: 7

6: 4

7: 6

8: 6

9: 2