円周上に点A, B, Cがあり、円の中心をOとする。$\angle ABC = 45^\circ$のとき、$\angle ACB = x$の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

円周上に点A, B, Cがあり、円の中心をOとする。$\angle ABC = 45^\circ$のとき、$\angle ACB = x$の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\angle BOC$は$\angle BAC$の中心角であるため、$\angle BOC = 2 \times \angle BAC$ が成り立つ。

また、$\angle BAC$と$\angle ABC$と$\angle ACB$の和は$180^\circ$である。

$OB$と$OC$は円の半径なので、$OB = OC$。

したがって、$\triangle OBC$は二等辺三角形である。

$\triangle OBC$において、$OB = OC$なので、$\angle OBC = \angle OCB$である。

また、$\angle OBC + \angle OCB + \angle BOC = 180^\circ$である。

$\angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB = 180^\circ - 45^\circ - x = 135^\circ - x$

よって、$\angle BOC = 2(135^\circ - x) = 270^\circ - 2x$

また、$\angle OBC = \angle OCB = \frac{180^\circ - \angle BOC}{2} = \frac{180^\circ - (270^\circ - 2x)}{2} = \frac{-90^\circ + 2x}{2} = x - 45^\circ$

ここで、$x > 45^\circ$である必要がある。

さらに、$\angle ABO = 45^\circ$なので、

$\angle OBC = \angle ABC - \angle ABO = 45^\circ - \angle ABO = 45^\circ$

したがって、$x - 45^\circ = 45^\circ$となり、

$x = 90^\circ$

$\angle BAC = 135^\circ - 90^\circ = 45^\circ$

$\angle BOC = 2 \times 45^\circ = 90^\circ$

$\angle OBC = \angle OCB = \frac{180^\circ - 90^\circ}{2} = 45^\circ$

3. 最終的な答え

90°