円周上の点A, B, Cがあり、円の中心をOとする。$\angle ABO = 45^\circ$, $\angle BAC = 90^\circ$であるとき、$\angle x = \angle BCO$ の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

円周上の点A, B, Cがあり、円の中心をOとする。$\angle ABO = 45^\circ$, $\angle BAC = 90^\circ$であるとき、$\angle x = \angle BCO$ の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABOに着目する。AOとBOは円の半径なので、$AO=BO$である。したがって、三角形ABOは二等辺三角形である。

二等辺三角形の底角は等しいので、$\angle BAO = \angle ABO = 45^\circ$である。

三角形ABOの内角の和は$180^\circ$なので、$\angle AOB = 180^\circ - \angle BAO - \angle ABO = 180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ$である。

$\angle BAC = 90^\circ$なので、点Aは直径に対する円周角である。よってBCは円の直径である。

したがって、OはBCの中点である。BOとCOは円の半径なので、$BO=CO$である。

三角形BCOに着目する。三角形BCOは$BO=CO$より二等辺三角形である。

したがって、$\angle CBO = \angle BCO = x$である。

$\angle BOC$は一直線なので$\angle BOC = 180^\circ$である。

$\angle AOB = 90^\circ$なので、$\angle AOC = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$である。

三角形BCOにおいて、$\angle BOC + \angle CBO + \angle BCO = 180^\circ$なので、

$180^\circ - 90^\circ + x + x = 180^\circ$

$90^\circ + 2x = 180^\circ$

$2x = 90^\circ$

$x = 45^\circ$

または、BCが直径なので、$\angle BOC = 180^\circ$である。

$\angle AOB = 90^\circ$なので、$\angle AOC = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$である。

$\angle BOC$は平角より180度。よって、$\angle BOC = 180^\circ$。

$BO=CO$より、$\triangle BCO$は二等辺三角形。

よって、$\angle OBC = \angle OCB = x$。

$90^\circ = 2x$

$x = \frac{90}{2} = 45$

三角形BOCの内角の和は$180^\circ$なので、$\angle OBC + \angle OCB + \angle BOC = 180^\circ$

$2x + \angle BOC = 180^\circ$

$\angle BOC = 180^\circ - 2x$

$\angle AOB + \angle AOC + \angle BOC = 360^\circ$

$90^\circ + 90^\circ + 180^\circ - 2x = 360^\circ$

$360^\circ - 2x = 360^\circ$

$2x = 0^\circ$

$x=0^\circ$

この考え方では$x=0^\circ$になってしまうので、違う。

$\angle BAC = 90^\circ$, $\angle ABC = 45^\circ$より、$\angle ACB = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$

$\angle BCO = \angle ACB = 45^\circ$なので、$x=45^\circ$

3. 最終的な答え

45