放物線 $y = 4 - x^2$ と $x$軸で囲まれた部分について、以下の問題を解きます。 (1) 囲まれた部分の面積を求めます。 (2) 囲まれた部分を $x$ 軸を軸として回転させてできる立体の体積を求めます。 (3) 囲まれた部分を $y$ 軸を軸として回転させてできる立体の体積を求めます。

1. 問題の内容

放物線 $y = 4 - x^2$ と $x$軸で囲まれた部分について、以下の問題を解きます。

(1) 囲まれた部分の面積を求めます。

(2) 囲まれた部分を $x$ 軸を軸として回転させてできる立体の体積を求めます。

(3) 囲まれた部分を $y$ 軸を軸として回転させてできる立体の体積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 面積の計算

放物線 $y = 4 - x^2$ と $x$ 軸の交点を求めます。

$4 - x^2 = 0$ を解くと、$x = \pm 2$ となります。

したがって、囲まれた部分の面積 $S$ は、

$S = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) dx$

$= [4x - \frac{x^3}{3}]_{-2}^{2}$

$= (8 - \frac{8}{3}) - (-8 + \frac{8}{3})$

$= 16 - \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$

(2) x軸回転体の体積の計算

$x$ 軸を軸として回転させた立体の体積 $V_x$ は、

$V_x = \pi \int_{-2}^{2} (4 - x^2)^2 dx$

$= \pi \int_{-2}^{2} (16 - 8x^2 + x^4) dx$

$= \pi [16x - \frac{8x^3}{3} + \frac{x^5}{5}]_{-2}^{2}$

$= \pi [(32 - \frac{64}{3} + \frac{32}{5}) - (-32 + \frac{64}{3} - \frac{32}{5})]$

$= \pi [64 - \frac{128}{3} + \frac{64}{5}] = 64\pi [1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5}] = 64\pi [\frac{15 - 10 + 3}{15}] = \frac{64 \pi \cdot 8}{15} = \frac{512\pi}{15}$

(3) y軸回転体の体積の計算

$y$ 軸を軸として回転させた立体の体積 $V_y$ は、バウムクーヘン積分を使うと、

$V_y = 2\pi \int_{0}^{2} x(4 - x^2) dx$

$= 2\pi \int_{0}^{2} (4x - x^3) dx$

$= 2\pi [2x^2 - \frac{x^4}{4}]_{0}^{2}$

$= 2\pi [(8 - 4) - (0 - 0)] = 2\pi \cdot 4 = 8\pi$

3. 最終的な答え

(1) 面積: $\frac{32}{3}$

(2) $x$軸回転体の体積: $\frac{512\pi}{15}$

(3) $y$軸回転体の体積: $8\pi$