関数 $y = \log_3 x$ において、$\frac{1}{3} < x \leq 3\sqrt{3}$ のときの $y$ の値域を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \log_3 x$ において、$\frac{1}{3} < x \leq 3\sqrt{3}$ のときの $y$ の値域を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた $x$ の範囲 $\frac{1}{3} < x \leq 3\sqrt{3}$ に対して、関数 $y = \log_3 x$ を適用します。

対数関数の性質から、$y$ は $x$ が増加するにつれて増加します。したがって、$x$ の最小値と最大値に対応する $y$ の値をそれぞれ計算すれば、値域が求まります。

まず、$x = \frac{1}{3}$ のとき、

$y = \log_3 \frac{1}{3} = \log_3 3^{-1} = -1$

次に、$x = 3\sqrt{3}$ のとき、

$y = \log_3 (3\sqrt{3}) = \log_3 (3 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) = \log_3 3^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2}$

したがって、$y$ の範囲は $-1 < y \leq \frac{3}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$-1 < y \leq \frac{3}{2}$