以下の7つの極限値を、ロピタルの定理を用いて求めます。 (1) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x}$ (2) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\pi - 2x) \tan x$ (3) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\tan x - \sec x)$ (4) $\lim_{x \to +0} \frac{\log (1 + \sqrt{x(1-x)})}{\sin \sqrt{x}}$ (5) $\lim_{x \to 1-0} \frac{\log (\tan \frac{\pi}{2}x)}{\tanh^{-1} x}$ (6) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log (\sin^{-1} \frac{1}{x})}{\log x}$ (7) $\lim_{x \to +0} (\sin x)^{-\frac{1}{\log x}}$

はい、承知いたしました。ロピタルの定理を用いて以下の極限値を求める問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の7つの極限値を、ロピタルの定理を用いて求めます。

(1) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x}$

(2) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\pi - 2x) \tan x$

(3) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\tan x - \sec x)$

(4) $\lim_{x \to +0} \frac{\log (1 + \sqrt{x(1-x)})}{\sin \sqrt{x}}$

(5) $\lim_{x \to 1-0} \frac{\log (\tan \frac{\pi}{2}x)}{\tanh^{-1} x}$

(6) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log (\sin^{-1} \frac{1}{x})}{\log x}$

(7) $\lim_{x \to +0} (\sin x)^{-\frac{1}{\log x}}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x}$

$x \to \infty$ で、分子も分母も $\infty$ に発散するので、ロピタルの定理を使います。

分子を $n$ 回微分すると定数になるので、$n$ 回ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{nx^{n-1}}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{n(n-1)x^{n-2}}{e^x} = \dots = \lim_{x \to \infty} \frac{n!}{e^x} = 0$

(2) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\pi - 2x) \tan x$

$x \to \frac{\pi}{2}$ のとき、$(\pi - 2x) \to 0$ かつ $\tan x \to \infty$ となるので、$0 \cdot \infty$ の不定形です。

$\frac{\pi}{2} - x = t$ とおくと、$x = \frac{\pi}{2} - t$ で、$x \to \frac{\pi}{2}$ のとき $t \to 0$ となります。

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\pi - 2x) \tan x = \lim_{t \to 0} (2t) \tan (\frac{\pi}{2} - t) = \lim_{t \to 0} 2t \cot t = \lim_{t \to 0} 2t \frac{\cos t}{\sin t} = \lim_{t \to 0} 2 \cos t \frac{t}{\sin t} = 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2$

(3) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\tan x - \sec x)$

$x \to \frac{\pi}{2}$ で、$\tan x \to \infty$ かつ $\sec x \to \infty$ なので、$\infty - \infty$ の不定形です。

$\tan x - \sec x = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{1}{\cos x} = \frac{\sin x - 1}{\cos x}$

$x \to \frac{\pi}{2}$ で、分子は $0$ に、分母も $0$ に近づくので、ロピタルの定理を使えます。

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin x - 1}{\cos x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{-\sin x} = \frac{0}{-1} = 0$

(4) $\lim_{x \to +0} \frac{\log (1 + \sqrt{x(1-x)})}{\sin \sqrt{x}}$

$x \to 0$ で、$\log(1+\sqrt{x(1-x)}) \to \log(1) = 0$ かつ $\sin \sqrt{x} \to 0$ なので、$\frac{0}{0}$ の不定形です。ロピタルの定理を使います。

$\lim_{x \to +0} \frac{\log (1 + \sqrt{x(1-x)})}{\sin \sqrt{x}} = \lim_{x \to +0} \frac{\frac{1}{1 + \sqrt{x(1-x)}} \cdot \frac{1-2x}{2\sqrt{x(1-x)}}}{\frac{\cos \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}} = \lim_{x \to +0} \frac{1}{1 + \sqrt{x(1-x)}} \cdot \frac{1-2x}{2\sqrt{x(1-x)}} \cdot \frac{2\sqrt{x}}{\cos \sqrt{x}} = \lim_{x \to +0} \frac{1}{1 + \sqrt{x(1-x)}} \cdot \frac{1-2x}{\sqrt{1-x}} \cdot \frac{1}{\cos \sqrt{x}} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$

(5) $\lim_{x \to 1-0} \frac{\log (\tan \frac{\pi}{2}x)}{\tanh^{-1} x}$

$x \to 1-0$ のとき、$\frac{\pi}{2}x \to \frac{\pi}{2}$ なので $\tan (\frac{\pi}{2}x) \to \infty$ となり、$\log (\tan \frac{\pi}{2} x) \to \infty$。

また、$\tanh^{-1} x \to \infty$ なので、$\frac{\infty}{\infty}$ の不定形です。ロピタルの定理を使います。

$\frac{d}{dx} \log (\tan \frac{\pi}{2} x) = \frac{1}{\tan (\frac{\pi}{2} x)} \cdot \sec^2 (\frac{\pi}{2} x) \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\cos (\frac{\pi}{2} x)}{\sin (\frac{\pi}{2} x)} \cdot \frac{1}{\cos^2 (\frac{\pi}{2} x)} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2 \sin (\frac{\pi}{2} x) \cos (\frac{\pi}{2} x)} = \frac{\pi}{\sin(\pi x)}$

$\frac{d}{dx} \tanh^{-1} x = \frac{1}{1-x^2}$

$\lim_{x \to 1-0} \frac{\log (\tan \frac{\pi}{2}x)}{\tanh^{-1} x} = \lim_{x \to 1-0} \frac{\frac{\pi}{\sin(\pi x)}}{\frac{1}{1-x^2}} = \lim_{x \to 1-0} \frac{\pi(1-x^2)}{\sin (\pi x)} = \lim_{x \to 1-0} \frac{\pi (1-x)(1+x)}{\sin (\pi x)}$

$t = 1-x$ とおくと $x = 1-t$ なので $x \to 1-0$ のとき $t \to 0$ となる。

$\lim_{t \to 0} \frac{\pi t (2-t)}{\sin (\pi(1-t))} = \lim_{t \to 0} \frac{\pi t (2-t)}{\sin (\pi - \pi t)} = \lim_{t \to 0} \frac{\pi t (2-t)}{\sin (\pi t)} = \lim_{t \to 0} \frac{\pi t}{\sin (\pi t)} (2-t) = 1 \cdot 2 = 2$

(6) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log (\sin^{-1} \frac{1}{x})}{\log x}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$ なので、$\sin^{-1} \frac{1}{x} \approx \frac{1}{x}$。

したがって、$\lim_{x \to \infty} \frac{\log (\sin^{-1} \frac{1}{x})}{\log x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\log (\frac{1}{x})}{\log x} = \lim_{x \to \infty} \frac{-\log x}{\log x} = -1$

(7) $\lim_{x \to +0} (\sin x)^{-\frac{1}{\log x}}$

$y = (\sin x)^{-\frac{1}{\log x}}$ とおくと、$\log y = -\frac{1}{\log x} \log (\sin x) = - \frac{\log (\sin x)}{\log x}$。

$x \to 0$ のとき、$\sin x \approx x$ なので、$\log (\sin x) \approx \log x$。

$\lim_{x \to +0} \log y = \lim_{x \to +0} - \frac{\log (\sin x)}{\log x} = -1$

$\lim_{x \to +0} y = e^{-1} = \frac{1}{e}$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0$

(2) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\pi - 2x) \tan x = 2$

(3) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\tan x - \sec x) = 0$

(4) $\lim_{x \to +0} \frac{\log (1 + \sqrt{x(1-x)})}{\sin \sqrt{x}} = 1$

(5) $\lim_{x \to 1-0} \frac{\log (\tan \frac{\pi}{2}x)}{\tanh^{-1} x} = 2$

(6) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log (\sin^{-1} \frac{1}{x})}{\log x} = -1$

(7) $\lim_{x \to +0} (\sin x)^{-\frac{1}{\log x}} = \frac{1}{e}$