$\int x^3 e^{x^4 + 3} dx$ を置換積分を用いて計算せよ。

1. 問題の内容

$\int x^3 e^{x^4 + 3} dx$ を置換積分を用いて計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、$u = x^4 + 3$ と置換します。

次に、$u$ を $x$ で微分します。

$\frac{du}{dx} = 4x^3$

これにより、$dx$ を $du$ で表すことができます。

$dx = \frac{du}{4x^3}$

与えられた積分に、$u = x^4 + 3$ と $dx = \frac{du}{4x^3}$ を代入します。

$\int x^3 e^{x^4 + 3} dx = \int x^3 e^u \frac{du}{4x^3}$

$x^3$ が約分され、定数 $\frac{1}{4}$ を積分の外に出すことができます。

$\int x^3 e^u \frac{du}{4x^3} = \frac{1}{4} \int e^u du$

$e^u$ の積分は $e^u$ です。

$\frac{1}{4} \int e^u du = \frac{1}{4} e^u + C$

最後に、$u = x^4 + 3$ を元に戻します。

$\frac{1}{4} e^u + C = \frac{1}{4} e^{x^4 + 3} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4} e^{x^4 + 3} + C$