円周上の点A, B, Cがあり、円の中心をOとする。角AOBは$68^\circ$である。角x（角COB）の大きさを求める問題。

1. 問題の内容

円周上の点A, B, Cがあり、円の中心をOとする。角AOBは$68^\circ$である。角x（角COB）の大きさを求める問題。

2. 解き方の手順

中心角と円周角の関係を利用する。

角AOBは中心角、角ACBは円周角である。

中心角は円周角の2倍であるから、円周角ACBは中心角AOBの半分である。

よって、

$∠ACB = \frac{1}{2} ∠AOB = \frac{1}{2} \times 68^\circ = 34^\circ$

三角形OAC、OBCは、OA=OC=OB (円の半径)なので二等辺三角形である。よって、∠OAC = ∠OCA、∠OBC = ∠OCB。

三角形OCAにおいて、

$∠OAC + ∠OCA + ∠AOC = 180^\circ$

$2∠OCA + ∠AOC = 180^\circ$

この関係は本問題では使わない。

三角形OABにおいて、

$OA = OB$であるから、三角形OABは二等辺三角形である。

$∠OAB = ∠OBA$

$∠OAB + ∠OBA + ∠AOB = 180^\circ$

$2∠OBA + 68^\circ = 180^\circ$

$2∠OBA = 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ$

$∠OBA = \frac{112^\circ}{2} = 56^\circ$

三角形OBCは、$OB = OC$である二等辺三角形である。

$∠OBC = ∠OCB$

$∠OBC + ∠OCB + ∠BOC = 180^\circ$

$2∠OCB + ∠BOC = 180^\circ$

∠ABC = ∠ABO + ∠OBC = 56 + ∠OCB

円周角の定理より、∠AOC = 2∠ABC であるので、

∠AOC = 2(56 + ∠OCB)

∠AOC + ∠COB = 360 - ∠AOB

∠AOC = 360 - 68 - ∠COB = 292 - ∠COB

2(56 + ∠OCB) = 292 - ∠COB

112 + 2∠OCB = 292 - ∠COB

3∠OCB = 292 - 112 = 180

∠OCB = 60

∠BOC = xとする。

2∠OCB + x = 180

120 + x = 180

x = 60

もしくは別の解き方として以下のように考えます。

∠AOC = 2∠ABC

∠BOC = 2∠BAC

∠AOB = 68

∠AOB + ∠BOC + ∠AOC = 360

円周角の定理から、∠AOB = 2∠ACB が成り立つ。

∠ACB = (1/2)∠AOB = 68/2 = 34

OA=OB=OCだから、三角形OAB, OBC, OACは二等辺三角形である。

∠OAB = ∠OBA = (180-68)/2 = 56

三角形OBCにおいて、

∠OBC = ∠OCB

x + 2∠OCB = 180

∠ABC = ∠ABO + ∠OBC = 56 + ∠OCB

∠AOC = 2∠ABC = 2 (56 + ∠OCB)

68 + x + 2 (56 + ∠OCB) = 360

68 + x + 112 + 2∠OCB = 360

180 + x + 2∠OCB = 360

x + 2∠OCB = 180

2∠OCB = 180 - x

∠OCB = (180-x)/2

円周角の定理を使って考える

∠ACB = 34

∠OCB = ∠ACB = 34

x = ∠BOC = 180 - 2∠OCB = 180 - 68 = 112

3. 最終的な答え

112°