三角形ABCにおいて、点Q, Rが辺CA, ABをそれぞれ1:1に内分するとき、線分AOと線分OPの比AO:OPを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Q, Rが辺CA, ABをそれぞれ1:1に内分するとき、線分AOと線分OPの比AO:OPを求める問題です。

2. 解き方の手順

この問題は、チェバの定理とメネラウスの定理を利用して解くことができます。

まず、チェバの定理を適用します。チェバの定理とは、三角形ABCにおいて、各頂点から対辺またはその延長線上に引いた3本の直線が1点で交わるための必要十分条件は、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

である、という定理です。

問題文の条件から、$AR:RB = 1:1$, $CQ:QA = 1:1$ であるので、

$\frac{1}{1} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{1}{1} = 1$

したがって、$BP:PC = 1:1$ となります。

次に、三角形APCにおいて、直線BRに関してメネラウスの定理を適用します。メネラウスの定理とは、三角形ABCにおいて、辺BC、CA、ABまたはその延長線上にあるそれぞれ点P, Q, Rが一直線上にあるための必要十分条件は、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

である、という定理です。

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BO}{OP} \cdot \frac{PC}{CA} = 1$

問題文の条件から、$AR:RB = 1:1$、$BP:PC = 1:1$、$CQ:QA = 1:1$ であるので、$CA = CQ + QA$より$CA = 1 + 1 = 2$となります。よって、$PC:CA = 1:2$となります。

これを代入すると、

$\frac{1}{1} \cdot \frac{AO}{OP} \cdot \frac{1}{2} = 1$

$\frac{AO}{OP} = 2$

したがって、$AO:OP = 2:1$ となります。

3. 最終的な答え

AO:OP = 2 : 1