三角形ABCにおいて、点Q, Rが辺CA, ABをそれぞれ1:1と2:1の比に内分するとき、線分PCと線分CBの比 $PC:CB$ を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Q, Rが辺CA, ABをそれぞれ1:1と2:1の比に内分するとき、線分PCと線分CBの比 $PC:CB$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

メネラウスの定理を利用します。三角形ABCにおいて、直線RQが辺BC, CA, ABとそれぞれ点P, Q, Rで交わるとき、メネラウスの定理より、

$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} = 1$

問題文と図より、$CQ:QA = 1:1$ 、$AR:RB = 2:1$ であることがわかります。

これをメネラウスの定理に代入すると、

$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{1} = 1$

$\frac{BP}{PC} \cdot 2 = 1$

$\frac{BP}{PC} = \frac{1}{2}$

よって、$BP:PC = 1:2$となります。

$BC = BP + PC$ であるので、$BC = \frac{1}{2} PC + PC = \frac{3}{2}PC$

$PC = \frac{2}{3}BC$となり、$PC:BC = \frac{2}{3}BC : BC = 2:3$となります。

3. 最終的な答え

$PC:CB = 2:3$