三角形ABCにおいて、辺BC, CA, ABを点P, Q, Rがそれぞれ1:2, 1:1, 1:1に内分するとき、線分AOとOPの比 $AO:OP$ を求める問題です。ただし、Oは線分AP, BQ, CRの交点です。

幾何学チェバの定理メネラウスの定理ベクトル三角形
2025/7/30

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺BC, CA, ABを点P, Q, Rがそれぞれ1:2, 1:1, 1:1に内分するとき、線分AOとOPの比 AO:OPAO:OP を求める問題です。ただし、Oは線分AP, BQ, CRの交点です。

2. 解き方の手順

この問題はチェバの定理とメネラウスの定理を利用して解きます。
まず、チェバの定理より
BPPCCQQAARRB=121111=12\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1} = \frac{1}{2}
次に、直線APに関して、三角形BCRにメネラウスの定理を適用すると
BPPCCOORRAAB=1\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CO}{OR} \cdot \frac{RA}{AB} = 1
12COOR12=1\frac{1}{2} \cdot \frac{CO}{OR} \cdot \frac{1}{2} = 1
COOR=4\frac{CO}{OR} = 4
同様に、直線APに関して、三角形BCQにメネラウスの定理を適用すると
CPPBBOOQQAAC=1\frac{CP}{PB} \cdot \frac{BO}{OQ} \cdot \frac{QA}{AC} = 1
21BOOQ12=1\frac{2}{1} \cdot \frac{BO}{OQ} \cdot \frac{1}{2} = 1
BOOQ=1\frac{BO}{OQ} = 1
すなわち、BO=OQBO = OQ
さらに、点Pを基準として、線分APを考える。
AP=2AB+AC3\vec{AP} = \frac{2\vec{AB} + \vec{AC}}{3}
ここで、点Oは線分AP上にあるので、実数 kk を用いて AO=kAP\vec{AO} = k\vec{AP} と表せる。
AO=k(2AB+AC3)=2k3AB+k3AC\vec{AO} = k(\frac{2\vec{AB} + \vec{AC}}{3}) = \frac{2k}{3}\vec{AB} + \frac{k}{3}\vec{AC}
また、点Oは線分CR上にもあるので、実数 ll を用いて AO=(1l)AC+lAR\vec{AO} = (1-l)\vec{AC} + l\vec{AR} と表せる。
AO=(1l)AC+l(AB+AA2)=(1l)AC+l2AB\vec{AO} = (1-l)\vec{AC} + l(\frac{\vec{AB} + \vec{AA}}{2}) = (1-l)\vec{AC} + \frac{l}{2}\vec{AB}
よって、
2k3=l2\frac{2k}{3} = \frac{l}{2} , k3=1l\frac{k}{3} = 1-l
l=4k3l = \frac{4k}{3}
k3=14k3\frac{k}{3} = 1 - \frac{4k}{3}
k=34kk = 3 - 4k
5k=35k = 3
k=35k = \frac{3}{5}
よって、AO=35AP\vec{AO} = \frac{3}{5}\vec{AP}
したがって、AO:OP=3:2AO:OP = 3:2

3. 最終的な答え

AO:OP=3:2AO:OP = 3:2

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