この問題はチェバの定理とメネラウスの定理を利用して解きます。
まず、チェバの定理より
PCBP⋅QACQ⋅RBAR=21⋅11⋅11=21 次に、直線APに関して、三角形BCRにメネラウスの定理を適用すると
PCBP⋅ORCO⋅ABRA=1 21⋅ORCO⋅21=1 ORCO=4 同様に、直線APに関して、三角形BCQにメネラウスの定理を適用すると
PBCP⋅OQBO⋅ACQA=1 12⋅OQBO⋅21=1 OQBO=1 さらに、点Pを基準として、線分APを考える。
AP=32AB+AC ここで、点Oは線分AP上にあるので、実数 k を用いて AO=kAP と表せる。 AO=k(32AB+AC)=32kAB+3kAC また、点Oは線分CR上にもあるので、実数 l を用いて AO=(1−l)AC+lAR と表せる。 AO=(1−l)AC+l(2AB+AA)=(1−l)AC+2lAB よって、
32k=2l , 3k=1−l l=34k 3k=1−34k よって、AO=53AP したがって、AO:OP=3:2