三角形ABCにおいて、点Q, Rが辺CA, ABをそれぞれ1:2に内分するとき、線分PCとCBの比 $PC:CB$ を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Q, Rが辺CA, ABをそれぞれ1:2に内分するとき、線分PCとCBの比 $PC:CB$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この問題はチェバの定理を使うことで解けます。

チェバの定理は、三角形ABCにおいて、各辺上に点P, Q, Rがあり、AP, BQ, CRが一点で交わるならば、以下の式が成り立つという定理です。

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

図より、$AR:RB = 1:2$, $CQ:QA = 1:2$ であることがわかります。

したがって、$\frac{AR}{RB} = \frac{1}{2}$ かつ $\frac{CQ}{QA} = \frac{1}{2}$ です。

チェバの定理の式にこれらを代入すると、

$\frac{1}{2} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{1}{2} = 1$

$\frac{BP}{PC} = 4$

ここで、$BC = BP + PC$であるので、$BP = BC - PC$ と表せます。

これを $\frac{BP}{PC} = 4$ に代入すると、

$\frac{BC - PC}{PC} = 4$

$BC - PC = 4PC$

$BC = 5PC$

$\frac{PC}{BC} = \frac{1}{5}$

求めるのは$PC:CB$なので、

$PC:CB = 1:(BC/PC) = PC : (BC - PC) = PC : (5PC - PC) = PC : 4PC = 1:4$

3. 最終的な答え

$PC:CB = 1:4$