## 問題の回答

## 問題の回答

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1. 問題の内容

問題は全部で7つあります。

1. 関数の微分：$y=(e^{3x}+7)^5$ を $x$ で微分せよ。

2. 関数の微分：$y = \log \frac{(x^5+1)^4}{x+1}$ を $x$ で微分せよ。

3. 関数の微分：$y=(2x+5)\sin 3x$ を $x$ で微分せよ。

4. 不定積分：$\int (x-1)\sin 2x dx$ を求めよ（部分積分）。

5. 定積分：$\int_1^2 (x^3 - \frac{3}{x}) dx$ を求めよ。

6. 定積分：$\int_0^1 (e^{2x} - e^{-x}) dx$ を求めよ。

7. 定積分：$\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos \frac{x}{3} - \sin 2x) dx$ を求めよ。

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2. 解き方の手順

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1. $y=(e^{3x}+7)^5$ の微分**

合成関数の微分を使います。$u = e^{3x} + 7$ とおくと、$y = u^5$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 5u^4 = 5(e^{3x}+7)^4$

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{3x}+7) = 3e^{3x}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 5(e^{3x}+7)^4 \cdot 3e^{3x} = 15e^{3x}(e^{3x}+7)^4$

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2. $y = \log \frac{(x^5+1)^4}{x+1}$ の微分**

対数の性質を利用して式を簡略化します。

$y = \log (x^5+1)^4 - \log (x+1) = 4\log (x^5+1) - \log (x+1)$

$\frac{dy}{dx} = 4\cdot\frac{5x^4}{x^5+1} - \frac{1}{x+1} = \frac{20x^4}{x^5+1} - \frac{1}{x+1}$

通分して整理します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{20x^4(x+1) - (x^5+1)}{(x^5+1)(x+1)} = \frac{20x^5 + 20x^4 - x^5 - 1}{(x^5+1)(x+1)} = \frac{19x^5 + 20x^4 - 1}{(x^5+1)(x+1)}$

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3. $y=(2x+5)\sin 3x$ の微分**

積の微分を使います。

$\frac{dy}{dx} = (2x+5)'\sin 3x + (2x+5)(\sin 3x)'$

$\frac{dy}{dx} = 2\sin 3x + (2x+5)(3\cos 3x) = 2\sin 3x + (6x+15)\cos 3x$

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4. $\int (x-1)\sin 2x dx$**

部分積分を使います。$u = x-1$, $dv = \sin 2x dx$ とおくと、$du = dx$, $v = -\frac{1}{2}\cos 2x$ です。

$\int u dv = uv - \int v du$

$\int (x-1)\sin 2x dx = (x-1)(-\frac{1}{2}\cos 2x) - \int (-\frac{1}{2}\cos 2x) dx$

$= -\frac{1}{2}(x-1)\cos 2x + \frac{1}{2}\int \cos 2x dx$

$= -\frac{1}{2}(x-1)\cos 2x + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\sin 2x + C$

$= -\frac{1}{2}(x-1)\cos 2x + \frac{1}{4}\sin 2x + C$

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5. $\int_1^2 (x^3 - \frac{3}{x}) dx$**

$\int_1^2 (x^3 - \frac{3}{x}) dx = [\frac{x^4}{4} - 3\log|x|]_1^2$

$= (\frac{2^4}{4} - 3\log 2) - (\frac{1^4}{4} - 3\log 1)$

$= (4 - 3\log 2) - (\frac{1}{4} - 0) = \frac{15}{4} - 3\log 2$

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6. $\int_0^1 (e^{2x} - e^{-x}) dx$**

$\int_0^1 (e^{2x} - e^{-x}) dx = [\frac{1}{2}e^{2x} + e^{-x}]_0^1$

$= (\frac{1}{2}e^2 + e^{-1}) - (\frac{1}{2}e^0 + e^0) = \frac{1}{2}e^2 + \frac{1}{e} - \frac{1}{2} - 1$

$= \frac{1}{2}e^2 + \frac{1}{e} - \frac{3}{2}$

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7. $\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos \frac{x}{3} - \sin 2x) dx$**

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos \frac{x}{3} - \sin 2x) dx = [3\sin \frac{x}{3} + \frac{1}{2}\cos 2x]_0^{\frac{\pi}{2}}$

$= (3\sin \frac{\pi}{6} + \frac{1}{2}\cos \pi) - (3\sin 0 + \frac{1}{2}\cos 0)$

$= (3 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2}(-1)) - (0 + \frac{1}{2})$

$= \frac{3}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

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3. 最終的な答え

1. $\frac{dy}{dx} = 15e^{3x}(e^{3x}+7)^4$

2. $\frac{dy}{dx} = \frac{19x^5 + 20x^4 - 1}{(x^5+1)(x+1)}$

3. $\frac{dy}{dx} = 2\sin 3x + (6x+15)\cos 3x$

4. $\int (x-1)\sin 2x dx = -\frac{1}{2}(x-1)\cos 2x + \frac{1}{4}\sin 2x + C$

5. $\int_1^2 (x^3 - \frac{3}{x}) dx = \frac{15}{4} - 3\log 2$

6. $\int_0^1 (e^{2x} - e^{-x}) dx = \frac{1}{2}e^2 + \frac{1}{e} - \frac{3}{2}$

7. $\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos \frac{x}{3} - \sin 2x) dx = \frac{1}{2}$