右の $\triangle ABC$ において、点P, Q, Rが辺BC, CA, ABを図のような比に内分するとき、AO : OPを求めなさい。 ただし、図から $AR:RB = 1:2$, $BP:PC = 2:3$, $CQ:QA = 3:1$ である。

1. 問題の内容

右の $\triangle ABC$ において、点P, Q, Rが辺BC, CA, ABを図のような比に内分するとき、AO : OPを求めなさい。

ただし、図から $AR:RB = 1:2$, $BP:PC = 2:3$, $CQ:QA = 3:1$ である。

2. 解き方の手順

チェバの定理より、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{1} = 1$

よって、AP, BQ, CRは一点Oで交わる。

メネラウスの定理より、 $\triangle RBC$ と直線APにおいて、

$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QR} \cdot \frac{RO}{OB} = 1$

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{QA+AR} \cdot \frac{AO}{OP} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{\frac{1}{3}CA + \frac{2}{3}AB} \cdot \frac{AO}{OP} = 1$

ここで、メネラウスの定理を $\triangle CAP$ と直線 BQ に適用すると、

$\frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AO}{OP} \cdot \frac{PB}{BC} = 1$

$\frac{3}{1} \cdot \frac{AO}{OP} \cdot \frac{2}{5} = 1$

$\frac{6}{5} \cdot \frac{AO}{OP} = 1$

$\frac{AO}{OP} = \frac{5}{6}$

3. 最終的な答え

AO : OP = 5 : 6