三角形ABCにおいて、点Q, Rがそれぞれ辺CA, ABを1:3に内分するとき、AO:OPを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Q, Rがそれぞれ辺CA, ABを1:3に内分するとき、AO:OPを求めよ。

2. 解き方の手順

この問題はチェバの定理の変形を利用して解きます。

チェバの定理より、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

が成り立ちます。

問題文より、$AR:RB = 1:3$, $CQ:QA = 3:1$ であるから、

$\frac{1}{3} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{3}{1} = 1$

$\frac{BP}{PC} = 1$

よって、$BP:PC = 1:1$ となります。

次に、メネラウスの定理を三角形ACPと直線BOについて適用します。

$\frac{AO}{OP} \cdot \frac{PB}{BC} \cdot \frac{CR}{RA} = 1$

$\frac{AO}{OP} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{1} = 1$

$\frac{AO}{OP} \cdot 2 = 1$

$\frac{AO}{OP} = \frac{1}{2}$

よって、$AO:OP = 1:2$ となります。

3. 最終的な答え

AO:OP = 1:2