三角形ABCにおいて、点Q, Rがそれぞれ辺CA, ABを1:3に内分するとき、線分BPが辺ACと交わる点をPとします。PC:CBを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Q, Rがそれぞれ辺CA, ABを1:3に内分するとき、線分BPが辺ACと交わる点をPとします。PC:CBを求める問題です。

2. 解き方の手順

この問題はチェバの定理を利用して解きます。チェバの定理とは、三角形ABCにおいて、各辺上に点P, Q, Rがあり、AP, BQ, CRが一点で交わる（または平行である）とき、以下の関係が成り立つという定理です。

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

問題の図より、AR:RB = 1:3、CQ:QA = 3:1です。これらの値をチェバの定理に代入すると、

$\frac{1}{3} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{3}{1} = 1$

$\frac{BP}{PC} = 1$

よって、BP = PCとなります。求めるのはPC:CBなので、CB=PC+BP=2PCとなります。ゆえに、PC:CB = PC:2PC = 1:2となります。

3. 最終的な答え

1:2