三角形ABCにおいて、点P, Q, Rが辺BC, CA, ABをそれぞれ1:1, 3:1, 3:1の比に内分するとき、線分AOとOPの長さの比 $AO:OP$ を求めよ。ここで、Oは線分AP, BQ, CRの交点である。

幾何学幾何チェバの定理メネラウスの定理内分点線分の比三角形
2025/7/30

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点P, Q, Rが辺BC, CA, ABをそれぞれ1:1, 3:1, 3:1の比に内分するとき、線分AOとOPの長さの比 AO:OPAO:OP を求めよ。ここで、Oは線分AP, BQ, CRの交点である。

2. 解き方の手順

この問題はチェバの定理とメネラウスの定理を利用して解くことができます。
まず、チェバの定理より、
ARRBBPPCCQQA=1\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1
3111CQQA=1\frac{3}{1} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1
CQQA=13\frac{CQ}{QA} = \frac{1}{3}
次に、線分APを基準に、三角形ABCにメネラウスの定理を用いると、
BPPCCQQAAOOP=1\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AO}{OP} = 1 が成立します。
与えられた条件より、BP:PC=1:1BP:PC = 1:1CQ:QA=1:3CQ:QA = 1:3 なので、
1113AOOP=1\frac{1}{1} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{AO}{OP} = 1
したがって、
AOOP=3\frac{AO}{OP} = 3

3. 最終的な答え

AO:OP=3:1AO:OP = 3:1

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