次の2つの不定積分を求めます。 (1) $\int \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} dx$ (2) $\int \frac{1}{x+1} \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} dx$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

次の2つの不定積分を求めます。

(1) $\int \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} dx$

(2) $\int \frac{1}{x+1} \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} dx$

$\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$ の分母を有理化します。

$\sqrt{\frac{1+x}{1-x}} = \sqrt{\frac{(1+x)(1+x)}{(1-x)(1+x)}} = \sqrt{\frac{(1+x)^2}{1-x^2}} = \frac{1+x}{\sqrt{1-x^2}}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{1+x}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx + \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$

第1項は $\arcsin x$ になります。

第2項について、$u = 1 - x^2$ と置換します。

$du = -2x dx$ より $x dx = -\frac{1}{2} du$

$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}} (-\frac{1}{2}) du = -\frac{1}{2} \int u^{-1/2} du = -\frac{1}{2} \cdot 2 u^{1/2} = -\sqrt{u} = -\sqrt{1-x^2}$

したがって、

$\int \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} dx = \arcsin x - \sqrt{1-x^2} + C$

(2) $\int \frac{1}{x+1} \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} dx$

$u = \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$ と置換します。

$u^2 = \frac{x-1}{x+1}$

$u^2(x+1) = x-1$

$u^2 x + u^2 = x - 1$

$x(1-u^2) = u^2 + 1$

$x = \frac{u^2 + 1}{1-u^2}$

$dx = \frac{2u(1-u^2) - (u^2+1)(-2u)}{(1-u^2)^2} du = \frac{2u - 2u^3 + 2u^3 + 2u}{(1-u^2)^2} du = \frac{4u}{(1-u^2)^2} du$

$x+1 = \frac{u^2+1}{1-u^2} + 1 = \frac{u^2+1+1-u^2}{1-u^2} = \frac{2}{1-u^2}$

したがって、

$\int \frac{1}{x+1} \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} dx = \int \frac{1}{\frac{2}{1-u^2}} \cdot u \cdot \frac{4u}{(1-u^2)^2} du = \int \frac{1-u^2}{2} \cdot u \cdot \frac{4u}{(1-u^2)^2} du = \int \frac{2u^2}{1-u^2} du = -2 \int \frac{u^2}{u^2-1} du$

$\frac{u^2}{u^2-1} = \frac{u^2-1+1}{u^2-1} = 1 + \frac{1}{u^2-1} = 1 + \frac{1}{(u-1)(u+1)} = 1 + \frac{1}{2} (\frac{1}{u-1} - \frac{1}{u+1})$

$\int \frac{2u^2}{1-u^2} du = -2 \int (1 + \frac{1}{2} (\frac{1}{u-1} - \frac{1}{u+1})) du = -2u - (\ln|u-1| - \ln|u+1|) + C = -2u - \ln|\frac{u-1}{u+1}| + C$

$-2 \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} - \ln |\frac{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}-1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+1}| + C = -2 \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} - \ln |\frac{\sqrt{x-1}-\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}}| + C$

最終的な答え

(1) $\arcsin x - \sqrt{1-x^2} + C$

(2) $-2 \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} - \ln |\frac{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}-1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+1}| + C$