三角形ABCにおいて、点Q, Rが辺CA, ABをそれぞれ1:3, 2:3の比に内分するとき、線分AOとOPの比 $AO:OP$ を求めよ。ここで、Oは線分BQとCRの交点、Pは直線AOと辺BCの交点である。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Q, Rが辺CA, ABをそれぞれ1:3, 2:3の比に内分するとき、線分AOとOPの比 $AO:OP$ を求めよ。ここで、Oは線分BQとCRの交点、Pは直線AOと辺BCの交点である。

2. 解き方の手順

まず、チェバの定理より、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{2}{3} / \frac{3}{3} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{1}{3} / \frac{4}{3} = 1$

$\frac{2}{3} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{1}{4} = 1$

$\frac{BP}{PC} = \frac{12}{2} = 6$

よって $BP:PC = 6:1$

次にメネラウスの定理を三角形BCPと直線ARについて適用すると、

$\frac{BA}{AR} \cdot \frac{RO}{OP} \cdot \frac{PC}{CB} = 1$

$\frac{5}{2} \cdot \frac{RO}{OP} \cdot \frac{1}{7} = 1$

$\frac{RO}{OP} = \frac{14}{5}$

メネラウスの定理を三角形ACPと直線BQについて適用すると、

$\frac{CB}{BP} \cdot \frac{PO}{OA} \cdot \frac{AQ}{QC} = 1$

$\frac{7}{6} \cdot \frac{PO}{OA} \cdot \frac{4}{1} = 1$

$\frac{PO}{OA} = \frac{6}{28} = \frac{3}{14}$

よって $AO:OP = 14:3$

3. 最終的な答え

$AO:OP = 14:3$