与えられた関数 $y$ の式を書き出し、微分を求めます。式は次の通りです。 $y = \frac{1}{2} (x \sqrt{x^2 + A} + A \log |x + \sqrt{x^2 + A}|)$

1. 問題の内容

与えられた関数 $y$ の式を書き出し、微分を求めます。式は次の通りです。

$y = \frac{1}{2} (x \sqrt{x^2 + A} + A \log |x + \sqrt{x^2 + A}|)$

2. 解き方の手順

与えられた関数 $y$ を $x$ で微分します。積の微分法、合成関数の微分法、および$\log$の微分法を使用します。

まず、最初の項 $x\sqrt{x^2+A}$ を微分します。

$\frac{d}{dx} (x \sqrt{x^2 + A}) = \sqrt{x^2 + A} + x \cdot \frac{1}{2} (x^2 + A)^{-1/2} \cdot 2x = \sqrt{x^2 + A} + \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + A}} = \frac{x^2 + A + x^2}{\sqrt{x^2 + A}} = \frac{2x^2 + A}{\sqrt{x^2 + A}}$

次に、第二の項 $A \log |x + \sqrt{x^2 + A}|$ を微分します。

$\frac{d}{dx} (A \log |x + \sqrt{x^2 + A}|) = A \cdot \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + A}} \cdot (1 + \frac{1}{2} (x^2 + A)^{-1/2} \cdot 2x) = A \cdot \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + A}} \cdot (1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + A}}) = A \cdot \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + A}} \cdot \frac{\sqrt{x^2 + A} + x}{\sqrt{x^2 + A}} = \frac{A}{\sqrt{x^2 + A}}$

したがって、$y$ の微分は次のようになります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} (\frac{2x^2 + A}{\sqrt{x^2 + A}} + \frac{A}{\sqrt{x^2 + A}}) = \frac{1}{2} \frac{2x^2 + 2A}{\sqrt{x^2 + A}} = \frac{x^2 + A}{\sqrt{x^2 + A}} = \sqrt{x^2 + A}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \sqrt{x^2 + A}$