正2n角形 $A_1A_2...A_{2n}$ の頂点から3点を選んで作られる鈍角三角形の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

正2n角形 $A_1A_2...A_{2n}$ の頂点から3点を選んで作られる鈍角三角形の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

正2n角形の頂点から3点を選んで三角形を作る総数は $_{2n}C_3$ です。

$_{2n}C_3 = \frac{2n(2n-1)(2n-2)}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{2n(2n-1)(2n-2)}{6} = \frac{4n(2n-1)(n-1)}{3}$

正2n角形の頂点から3点を選んで直角三角形を作る場合、斜辺は正2n角形の直径となる必要があります。直径はn本あり、それぞれの直径に対して残りの頂点の選び方は$2n-2$通りあるので、直角三角形の個数は $n(2n-2) = 2n(n-1)$ 個です。

正2n角形の頂点から3点を選んで鋭角三角形を作る場合を考えます。正2n角形を円に内接すると考え、円の中心をOとします。3つの頂点を選んでできる三角形が鋭角三角形であるとは、三角形の内部に円の中心Oを含むことと同値です。

ある頂点$A_i$を選んだとき、$A_i$を始点として反時計回りに$A_{i+k}, A_{i+l}$を選んだとすると、$1 \le k < l \le 2n-1$を満たす必要があります。この三角形が鋭角三角形であるためには、$l < n+1$かつ$l-k < n+1$かつ$2n-l+k < n+1$を満たす必要があります。

この鋭角三角形の個数は $\frac{n(n-1)(n-2)}{3}$である。

したがって、鈍角三角形の個数は、三角形全体の個数から直角三角形と鋭角三角形の個数を引いたものになります。

$_{2n}C_3$ - （直角三角形の個数） - （鋭角三角形の個数）

= $\frac{4n(2n-1)(n-1)}{3} - 2n(n-1) - \frac{n(n-1)(n-2)}{3}$

= $\frac{n(n-1)}{3}(4(2n-1) - 6 - (n-2))$

= $\frac{n(n-1)}{3}(8n - 4 - 6 - n + 2)$

= $\frac{n(n-1)}{3}(7n - 8)$

= $\frac{n(n-1)(7n-8)}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n-1)(7n-8)}{3}$