放物線 $y = 4 - x^2$ と $x$ 軸で囲まれた部分について、以下の問題を解く。 (1) 囲まれた部分の面積を求めよ。 (2) (1)で囲まれた部分を $x$ 軸を中心に回転させてできる立体の体積を求めよ。 (3) (1)で囲まれた部分を $y$ 軸を中心に回転させてできる立体の体積を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = 4 - x^2$ と $x$ 軸で囲まれた部分について、以下の問題を解く。

(1) 囲まれた部分の面積を求めよ。

(2) (1)で囲まれた部分を $x$ 軸を中心に回転させてできる立体の体積を求めよ。

(3) (1)で囲まれた部分を $y$ 軸を中心に回転させてできる立体の体積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 面積を求める。

放物線 $y = 4 - x^2$ と $x$ 軸の交点を求める。

$4 - x^2 = 0$ より、$x^2 = 4$ なので、$x = \pm 2$ となる。

求める面積 $S$ は、積分を用いて以下のように計算できる。

$S = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) dx = 2 \int_{0}^{2} (4 - x^2) dx$

$= 2 [4x - \frac{x^3}{3}]_0^2 = 2 (8 - \frac{8}{3}) = 2 (\frac{24 - 8}{3}) = 2 (\frac{16}{3}) = \frac{32}{3}$

(2) $x$ 軸回転体の体積を求める。

回転体の体積 $V_x$ は、積分を用いて以下のように計算できる。

$V_x = \pi \int_{-2}^{2} (4 - x^2)^2 dx = 2 \pi \int_{0}^{2} (16 - 8x^2 + x^4) dx$

$= 2 \pi [16x - \frac{8x^3}{3} + \frac{x^5}{5}]_0^2 = 2 \pi (32 - \frac{64}{3} + \frac{32}{5}) = 64 \pi (1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5})$

$= 64 \pi (\frac{15 - 10 + 3}{15}) = 64 \pi (\frac{8}{15}) = \frac{512 \pi}{15}$

(3) $y$ 軸回転体の体積を求める。

$y = 4 - x^2$ より $x^2 = 4 - y$ なので、$x = \pm \sqrt{4 - y}$

$y$ 軸回転体の体積 $V_y$ は、積分を用いて以下のように計算できる。$y$ の積分範囲は $0 \le y \le 4$。

$V_y = \pi \int_{0}^{4} (\sqrt{4 - y})^2 dy = \pi \int_{0}^{4} (4 - y) dy = \pi [4y - \frac{y^2}{2}]_0^4 = \pi (16 - \frac{16}{2}) = \pi (16 - 8) = 8\pi$

3. 最終的な答え

(1) 面積: $\frac{32}{3}$

(2) $x$軸回転体の体積: $\frac{512 \pi}{15}$

(3) $y$軸回転体の体積: $8 \pi$