与えられた問題は以下の3つの部分から構成されています。 1. $\frac{d}{dx}(\frac{x}{(1+x^2)^n}) = -\frac{2n-1}{(x^2+1)^n} + \frac{2n}{(x^2+1)^{n+1}} \quad (n \ge 1)$ を示す。

1. 問題の内容

与えられた問題は以下の3つの部分から構成されています。

1. $\frac{d}{dx}(\frac{x}{(1+x^2)^n}) = -\frac{2n-1}{(x^2+1)^n} + \frac{2n}{(x^2+1)^{n+1}} \quad (n \ge 1)$ を示す。

2. $I_n = \int \frac{dx}{(x^2+1)^n}$ と定義し、1)の結果を用いて $I_{n+1} = \frac{x}{2n(x^2+1)^n} + \frac{2n-1}{2n}I_n \quad (n \ge 1)$ を示す。

3. $J_n = \int_0^1 \frac{dx}{(x^2+1)^n}$ と定義し、$J_1$ と $J_2$ を求める。

2. 解き方の手順

1) の証明:

$\frac{d}{dx}(\frac{x}{(1+x^2)^n})$ を計算します。積の微分公式と合成関数の微分公式を用いると、

$\frac{d}{dx}(\frac{x}{(1+x^2)^n}) = \frac{1 \cdot (1+x^2)^n - x \cdot n(1+x^2)^{n-1}(2x)}{(1+x^2)^{2n}} = \frac{(1+x^2)^n - 2nx^2(1+x^2)^{n-1}}{(1+x^2)^{2n}}$

$= \frac{(1+x^2) - 2nx^2}{(1+x^2)^{n+1}} = \frac{1 + x^2 - 2nx^2}{(1+x^2)^{n+1}} = \frac{1 - (2n-1)x^2}{(1+x^2)^{n+1}}$

右辺を計算します。

$-\frac{2n-1}{(x^2+1)^n} + \frac{2n}{(x^2+1)^{n+1}} = \frac{-(2n-1)(x^2+1) + 2n}{(x^2+1)^{n+1}} = \frac{-(2n-1)x^2 - (2n-1) + 2n}{(x^2+1)^{n+1}} = \frac{-(2n-1)x^2 + 1}{(x^2+1)^{n+1}} = \frac{1 - (2n-1)x^2}{(1+x^2)^{n+1}}$.

したがって、$\frac{d}{dx}(\frac{x}{(1+x^2)^n}) = -\frac{2n-1}{(x^2+1)^n} + \frac{2n}{(x^2+1)^{n+1}}$ が成立します。

2) の証明:

1) の結果を積分します。

$\int \frac{d}{dx}(\frac{x}{(1+x^2)^n})dx = \int (-\frac{2n-1}{(x^2+1)^n} + \frac{2n}{(x^2+1)^{n+1}})dx$

$\frac{x}{(1+x^2)^n} = -(2n-1)\int \frac{1}{(x^2+1)^n}dx + 2n \int \frac{1}{(x^2+1)^{n+1}}dx = -(2n-1)I_n + 2nI_{n+1}$

$2nI_{n+1} = \frac{x}{(1+x^2)^n} + (2n-1)I_n$

$I_{n+1} = \frac{x}{2n(1+x^2)^n} + \frac{2n-1}{2n}I_n$

3) の計算:

$J_n = \int_0^1 \frac{dx}{(x^2+1)^n}$

$J_1 = \int_0^1 \frac{dx}{x^2+1} = [\arctan x]_0^1 = \arctan(1) - \arctan(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$

$I_{n+1} = \frac{x}{2n(1+x^2)^n} + \frac{2n-1}{2n}I_n$ より

$J_{n+1} = \int_0^1 \frac{dx}{(x^2+1)^{n+1}} = [\frac{x}{2n(1+x^2)^n}]_0^1 + \frac{2n-1}{2n} \int_0^1 \frac{dx}{(x^2+1)^n}$

$J_{n+1} = \frac{1}{2n(1+1)^n} - \frac{0}{2n(0+1)^n} + \frac{2n-1}{2n}J_n = \frac{1}{2n \cdot 2^n} + \frac{2n-1}{2n}J_n$

$J_2 = \int_0^1 \frac{dx}{(x^2+1)^2} = \frac{1}{2 \cdot 2^1} + \frac{2\cdot 1 - 1}{2 \cdot 1} J_1 = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} J_1 = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{1}{4} + \frac{\pi}{8} = \frac{2+\pi}{8}$

3. 最終的な答え

$J_1 = \frac{\pi}{4}$

$J_2 = \frac{2+\pi}{8}$