4本の平行線と5本の平行線が等間隔で交わっている。これらの交点を結んで三角形を作るとき、三角形はいくつできるか。

1. 問題の内容

4本の平行線と5本の平行線が等間隔で交わっている。これらの交点を結んで三角形を作るとき、三角形はいくつできるか。

2. 解き方の手順

まず、三角形を作るには3つの点が必要である。

交点の総数は、$4 \times 5 = 20$ 個である。

この20個の点から3つの点を選ぶ組み合わせは、

$_{20}C_3 = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 20 \times 19 \times 3 = 1140$通りである。

ただし、この中には一直線上に3つの点がある場合が含まれている。

これらの場合は三角形を作ることができないため、取り除く必要がある。

水平な線上に3つの点がある場合:

各水平線上に5つの点がある。

各水平線から3点を選ぶ組み合わせは、$_{5}C_3 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通りである。

水平線は4本あるので、$10 \times 4 = 40$通り。

垂直な線上に3つの点がある場合:

各垂直線上に4つの点がある。

各垂直線から3点を選ぶ組み合わせは、$_{4}C_3 = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4$通りである。

垂直線は5本あるので、$4 \times 5 = 20$通り。

したがって、一直線上に3つの点がある場合の総数は$40 + 20 = 60$通り。

したがって、三角形の総数は$1140 - 60 = 1080$個である。

3. 最終的な答え

1080個