三角形ABCにおいて、点Q, Rが辺AB, BCをそれぞれAQ:QB = 2:1, BR:RC = 4:1の比に内分するとき、CO:OQを求めなさい。ここで、Oは線分ARとCQの交点です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Q, Rが辺AB, BCをそれぞれAQ:QB = 2:1, BR:RC = 4:1の比に内分するとき、CO:OQを求めなさい。ここで、Oは線分ARとCQの交点です。

2. 解き方の手順

この問題は、メネラウスの定理を用いて解くことができます。三角形ABRに直線CQを適用することを考えます。

メネラウスの定理より、

$\frac{AQ}{QB} \cdot \frac{BC}{CR} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$

与えられた比の値を代入すると、

$\frac{2}{1} \cdot \frac{5}{1} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$

$\frac{10}{1} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$

$\frac{RO}{OA} = \frac{1}{10}$

したがって、AR:RO = 11:1となります。

次に、三角形BCQに直線ARを適用することを考えます。

メネラウスの定理より、

$\frac{BR}{RC} \cdot \frac{CA}{AO} \cdot \frac{OQ}{QB} = 1$

よって、

$\frac{4}{1} \cdot \frac{AO}{OC} \cdot \frac{CQ}{QB} = 1$

また、三角形ACRに直線BQを適用すると、

$\frac{AQ}{QB} \cdot \frac{BC}{CR} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{5}{1} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$

$\frac{RO}{OA} = \frac{1}{10}$

$10RO = OA$

三角形ACRに直線BQを適用し、チェバの定理より、

$\frac{AQ}{QB} \cdot \frac{BR}{RC} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{4}{1} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$

$\frac{CP}{PA} = \frac{1}{8}$

次に、チェバの定理を用いて、点Oが線分ARとCQの交点であることから、

$\frac{AQ}{QB} \times \frac{BR}{RC} \times \frac{CX}{XA} = 1$

$\frac{2}{1} \times \frac{4}{1} \times \frac{CX}{XA} = 1$

よって、$\frac{CX}{XA} = \frac{1}{8}$

ここで、メネラウスの定理を用いてCO:OQを求めるため、三角形ABRに直線CQを適用します。

$\frac{AQ}{QB} \cdot \frac{BC}{CR} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{5}{1} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$

$\frac{RO}{OA} = \frac{1}{10}$

三角形CBQに直線ARを適用して、メネラウスの定理より、

$\frac{CR}{RB} \cdot \frac{BA}{AQ} \cdot \frac{QO}{OC} = 1$

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{QO}{OC} = 1$

$\frac{3}{8} \cdot \frac{QO}{OC} = 1$

$\frac{QO}{OC} = \frac{8}{3}$

$\frac{OC}{QO} = \frac{3}{8}$

したがって、CO:OQ = 3:8

3. 最終的な答え

CO:OQ = 3:8