この問題は、広義積分の計算と収束・発散の判定に関する問題です。 問題1では、以下の広義積分を計算する必要があります。 (1) $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$ (2) $\int_{0}^{\infty} xe^{-x} dx$ (3) $\int_{0}^{1} \log x dx$ 問題2では、以下の広義積分の収束・発散を判定する必要があります。 (1) $\int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{\sin x} dx$ (2) $\int_{1}^{\infty} e^{-x^2} dx$

1. 問題の内容

この問題は、広義積分の計算と収束・発散の判定に関する問題です。

問題1では、以下の広義積分を計算する必要があります。

(1) $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$

(2) $\int_{0}^{\infty} xe^{-x} dx$

(3) $\int_{0}^{1} \log x dx$

問題2では、以下の広義積分の収束・発散を判定する必要があります。

(1) $\int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{\sin x} dx$

(2) $\int_{1}^{\infty} e^{-x^2} dx$

2. 解き方の手順

問題1

(1) $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$

$x = \sin \theta$ と置換すると、$dx = \cos \theta d\theta$。積分範囲は $0 \to \pi/2$。

$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 \theta}} \cos \theta d\theta = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos \theta}{\cos \theta} d\theta = \int_{0}^{\pi/2} 1 d\theta = [\theta]_{0}^{\pi/2} = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$

(2) $\int_{0}^{\infty} xe^{-x} dx$

部分積分を用いる。

$u = x$, $dv = e^{-x} dx$ とすると、$du = dx$, $v = -e^{-x}$。

$\int_{0}^{\infty} xe^{-x} dx = [-xe^{-x}]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} -e^{-x} dx = [-xe^{-x}]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} e^{-x} dx = [-xe^{-x}]_{0}^{\infty} + [-e^{-x}]_{0}^{\infty}$

$\lim_{x\to\infty} -xe^{-x} = \lim_{x\to\infty} -\frac{x}{e^x} = 0$（ロピタルの定理より）。

$[-xe^{-x}]_{0}^{\infty} + [-e^{-x}]_{0}^{\infty} = (0 - 0) + (0 - (-1)) = 1$

(3) $\int_{0}^{1} \log x dx$

部分積分を用いる。

$u = \log x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$。

$\int_{0}^{1} \log x dx = [x \log x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \cdot \frac{1}{x} dx = [x \log x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} 1 dx = [x \log x]_{0}^{1} - [x]_{0}^{1}$

$\lim_{x\to 0} x \log x = 0$（ロピタルの定理より）。

$[x \log x]_{0}^{1} - [x]_{0}^{1} = (1 \cdot \log 1 - 0) - (1 - 0) = (0 - 0) - 1 = -1$

問題2

(1) $\int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{\sin x} dx$

$x \to 0$ で $\sin x \approx x$ なので、$\int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{\sin x} dx \approx \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{x} dx$ と比較する。$\int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{x} dx$ は発散するので、$\int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{\sin x} dx$ も発散する。

(2) $\int_{1}^{\infty} e^{-x^2} dx$

$x^2 > x$ ($x > 1$ において) なので、$e^{-x^2} < e^{-x}$ である。$\int_{1}^{\infty} e^{-x} dx$ は収束するので、$\int_{1}^{\infty} e^{-x^2} dx$ も収束する。

3. 最終的な答え

問題1

(1) $\frac{\pi}{2}$

(2) $1$

(3) $-1$

問題2

(1) 発散

(2) 収束