問題1: 関数 $f(x)$ が与えられたとき、(1) $\frac{1}{2}\{f(-0) + f(+0)\}$ と (2) $\frac{1}{2}\{f(\frac{\pi}{2} - 0) + f(\frac{\pi}{2} + 0)\}$ の値を求めよ。ただし、関数 $f(x)$ は次のように定義されています。 $f(x) = \begin{cases} \cos x & (-\pi \leq x < 0) \\ \sin x & (0 \leq x < \pi) \end{cases}$ 問題2: 次の関数のフーリエ級数を求めよ。 (1) $f(x) = x + 1, \quad -1 \leq x < 1, \quad f(x+2) = f(x)$ (2) $f(x) = \begin{cases} -x-2 & (-2 \leq x < -1) \\ x & (-1 \leq x < 1) \\ -x+2 & (1 \leq x < 2) \end{cases}, \quad f(x+4) = f(x)$ 問題3: 関数 $f(x) = 1 - |x|, (-1 \leq x < 1), f(x+2) = f(x)$ のフーリエ級数は $f(x) \sim \frac{1}{2} + \frac{4}{\pi^2} (\frac{1}{1^2} \cos \pi x + \frac{1}{3^2} \cos 3\pi x + \frac{1}{5^2} \cos 5\pi x + \dots)$ である。これを用いて、次の等式が成り立つことを証明せよ。 $\frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \dots = \frac{\pi^2}{8}$ 問題4: 関数 $f(x) = x, (0 \leq x \leq 2)$ のフーリエ余弦級数とフーリエ正弦級数を求めよ。

1. 問題の内容

問題1: 関数 $f(x)$ が与えられたとき、(1) $\frac{1}{2}\{f(-0) + f(+0)\}$ と (2) $\frac{1}{2}\{f(\frac{\pi}{2} - 0) + f(\frac{\pi}{2} + 0)\}$ の値を求めよ。ただし、関数 $f(x)$ は次のように定義されています。

$f(x) = \begin{cases}

\cos x & (-\pi \leq x < 0) \\

\sin x & (0 \leq x < \pi)

\end{cases}$

問題2: 次の関数のフーリエ級数を求めよ。

(1) $f(x) = x + 1, \quad -1 \leq x < 1, \quad f(x+2) = f(x)$

(2) $f(x) = \begin{cases}

-x-2 & (-2 \leq x < -1) \\

x & (-1 \leq x < 1) \\

-x+2 & (1 \leq x < 2)

\end{cases}, \quad f(x+4) = f(x)$

問題3: 関数 $f(x) = 1 - |x|, (-1 \leq x < 1), f(x+2) = f(x)$ のフーリエ級数は $f(x) \sim \frac{1}{2} + \frac{4}{\pi^2} (\frac{1}{1^2} \cos \pi x + \frac{1}{3^2} \cos 3\pi x + \frac{1}{5^2} \cos 5\pi x + \dots)$ である。これを用いて、次の等式が成り立つことを証明せよ。

$\frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \dots = \frac{\pi^2}{8}$

問題4: 関数 $f(x) = x, (0 \leq x \leq 2)$ のフーリエ余弦級数とフーリエ正弦級数を求めよ。

2. 解き方の手順

問題1:

(1) $f(-0) = \lim_{x \to -0} f(x) = \lim_{x \to -0} \cos x = \cos 0 = 1$

$f(+0) = \lim_{x \to +0} f(x) = \lim_{x \to +0} \sin x = \sin 0 = 0$

よって、$\frac{1}{2}\{f(-0) + f(+0)\} = \frac{1}{2}(1 + 0) = \frac{1}{2}$

(2) $f(\frac{\pi}{2} - 0) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2} - 0} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2} - 0} \sin x = \sin \frac{\pi}{2} = 1$

$f(\frac{\pi}{2} + 0)$ は定義されていないので、$\frac{\pi}{2}$ では $f(x)$ は不連続です。$\lim_{x \to \frac{\pi}{2} + 0} f(x)$ が定義されていないので、$f(\frac{\pi}{2} + 0)$ は定義できません。しかし、問題文から$f(\frac{\pi}{2} + 0)$が定義されていると考えるなら、問題文の条件から計算できません。

問題3:

$x=0$ を与えられたフーリエ級数に代入すると、

$f(0) = 1 - |0| = 1$

一方、フーリエ級数は

$f(0) \sim \frac{1}{2} + \frac{4}{\pi^2} (\frac{1}{1^2} \cos 0 + \frac{1}{3^2} \cos 0 + \frac{1}{5^2} \cos 0 + \dots) = \frac{1}{2} + \frac{4}{\pi^2} (\frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \dots)$

したがって、$1 = \frac{1}{2} + \frac{4}{\pi^2} (\frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \dots)$

$\frac{1}{2} = \frac{4}{\pi^2} (\frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \dots)$

$\frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \dots = \frac{\pi^2}{8}$

3. 最終的な答え

問題1:

(1) $\frac{1}{2}$

(2) 計算できません。

問題3:

$\frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \dots = \frac{\pi^2}{8}$