関数 $f(x)$ が与えられており、次の値を求める問題です。 (1) $\frac{1}{2}\{f(-0) + f(+0)\}$ (2) $\frac{1}{2}\{f(\frac{\pi}{2}-0) + f(\frac{\pi}{2}+0)\}$ 関数は次のように定義されています。 $f(x) = \begin{cases} \cos x & (-\pi \le x < 0) \\ \sin x & (0 \le x < \pi) \end{cases}$

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が与えられており、次の値を求める問題です。

(1) $\frac{1}{2}\{f(-0) + f(+0)\}$

(2) $\frac{1}{2}\{f(\frac{\pi}{2}-0) + f(\frac{\pi}{2}+0)\}$

関数は次のように定義されています。

$f(x) = \begin{cases}

\cos x & (-\pi \le x < 0) \\

\sin x & (0 \le x < \pi)

\end{cases}$

2. 解き方の手順

(1)

$f(-0)$ は $x$ が 0 に負の方向から近づくときの $f(x)$ の値なので、$f(x) = \cos x$ を用いて計算します。

$f(-0) = \cos(0) = 1$

$f(+0)$ は $x$ が 0 に正の方向から近づくときの $f(x)$ の値なので、$f(x) = \sin x$ を用いて計算します。

$f(+0) = \sin(0) = 0$

よって、

$\frac{1}{2}\{f(-0) + f(+0)\} = \frac{1}{2}(1 + 0) = \frac{1}{2}$

(2)

$f(\frac{\pi}{2}-0)$ は $x$ が $\frac{\pi}{2}$ に負の方向から近づくときの $f(x)$ の値なので、$f(x) = \sin x$ を用いて計算します。

$f(\frac{\pi}{2}-0) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

$f(\frac{\pi}{2}+0)$ は $\frac{\pi}{2}$ より少し大きい値での$f(x)$の値ですが、$f(x)$ の定義から $0 \le x < \pi$ なので、$f(x) = \sin x$ を用いて計算します。$x$が $\frac{\pi}{2}$ に正の方向から近づく場合も $\frac{\pi}{2} < x < \pi$ で $\sin x$ は定義されているので、$f(\frac{\pi}{2}+0) = \sin(\frac{\pi}{2})=1$となります。

よって、

$\frac{1}{2}\{f(\frac{\pi}{2}-0) + f(\frac{\pi}{2}+0)\} = \frac{1}{2}(1 + 1) = \frac{1}{2}(2) = 1$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2}$

(2) $1$