与えられた3つの関数 $z$ を $x$ について微分する問題です。 (1) $z = (e^{3x} - 1)^8$ (2) $z = \log{\frac{x+3}{(x^4+1)^5}}$ (3) $z = (x^3-1)\cos{6x}$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数 $z$ を $x$ について微分する問題です。

(1) $z = (e^{3x} - 1)^8$

(2) $z = \log{\frac{x+3}{(x^4+1)^5}}$

(3) $z = (x^3-1)\cos{6x}$

2. 解き方の手順

(1) $z = (e^{3x} - 1)^8$ の微分

これは合成関数の微分です。まず、全体を8乗の関数と見て微分し、次に内部の $e^{3x} - 1$ を微分します。

最後に $e^{3x}$ の微分も行います。

$\frac{dz}{dx} = 8(e^{3x} - 1)^7 \cdot \frac{d}{dx}(e^{3x} - 1)$

$\frac{d}{dx}(e^{3x} - 1) = e^{3x} \cdot \frac{d}{dx}(3x) = 3e^{3x}$

よって、

$\frac{dz}{dx} = 8(e^{3x} - 1)^7 \cdot 3e^{3x}$

$\frac{dz}{dx} = 24e^{3x}(e^{3x} - 1)^7$

(2) $z = \log{\frac{x+3}{(x^4+1)^5}}$ の微分

まず、対数の性質を使って式を簡単にします。

$\log{\frac{a}{b}} = \log{a} - \log{b}$

$z = \log{(x+3)} - \log{(x^4+1)^5}$

$z = \log{(x+3)} - 5\log{(x^4+1)}$

次に、各項を微分します。

$\frac{d}{dx}\log{(x+3)} = \frac{1}{x+3}$

$\frac{d}{dx}5\log{(x^4+1)} = 5\cdot \frac{1}{x^4+1} \cdot \frac{d}{dx}(x^4+1) = 5\cdot \frac{4x^3}{x^4+1} = \frac{20x^3}{x^4+1}$

したがって、

$\frac{dz}{dx} = \frac{1}{x+3} - \frac{20x^3}{x^4+1}$

(3) $z = (x^3-1)\cos{6x}$ の微分

これは積の微分です。積の微分公式は $(uv)' = u'v + uv'$ です。

$u = x^3-1$ と $v = \cos{6x}$ とします。

$\frac{du}{dx} = 3x^2$

$\frac{dv}{dx} = -6\sin{6x}$

$\frac{dz}{dx} = 3x^2\cos{6x} + (x^3-1)(-6\sin{6x})$

$\frac{dz}{dx} = 3x^2\cos{6x} - 6(x^3-1)\sin{6x}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dz}{dx} = 24e^{3x}(e^{3x} - 1)^7$

(2) $\frac{dz}{dx} = \frac{1}{x+3} - \frac{20x^3}{x^4+1}$

(3) $\frac{dz}{dx} = 3x^2\cos{6x} - 6(x^3-1)\sin{6x}$