$\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{5}} \arctan(5x) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{5}} \arctan(5x) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて解きます。

$u = \arctan(5x)$, $dv = dx$ とおくと、

$du = \frac{5}{1+(5x)^2} dx = \frac{5}{1+25x^2} dx$, $v = x$ となります。

したがって、

$\int \arctan(5x) dx = x \arctan(5x) - \int \frac{5x}{1+25x^2} dx$

$\int \frac{5x}{1+25x^2} dx$ を計算します。

$w = 1+25x^2$ とおくと、$dw = 50x dx$ より $5x dx = \frac{1}{10} dw$ となります。

$\int \frac{5x}{1+25x^2} dx = \int \frac{1}{w} \frac{1}{10} dw = \frac{1}{10} \ln|w| + C = \frac{1}{10} \ln(1+25x^2) + C$

(∵ $1+25x^2 > 0$ より絶対値を外せる)

よって、

$\int \arctan(5x) dx = x \arctan(5x) - \frac{1}{10} \ln(1+25x^2) + C$

求める定積分は

$\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{5}} \arctan(5x) dx = \left[ x \arctan(5x) - \frac{1}{10} \ln(1+25x^2) \right]_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{5}}$

$= \frac{\sqrt{3}}{5} \arctan(\sqrt{3}) - \frac{1}{10} \ln(1+25 (\frac{\sqrt{3}}{5})^2) - (0 \arctan(0) - \frac{1}{10} \ln(1+0))$

$= \frac{\sqrt{3}}{5} \frac{\pi}{3} - \frac{1}{10} \ln(1+25 \frac{3}{25}) - 0 + \frac{1}{10} \ln(1)$

$= \frac{\pi \sqrt{3}}{15} - \frac{1}{10} \ln(4) - 0 + 0$

$= \frac{\pi \sqrt{3}}{15} - \frac{1}{10} \ln(2^2)$

$= \frac{\pi \sqrt{3}}{15} - \frac{2}{10} \ln(2)$

$= \frac{\pi \sqrt{3}}{15} - \frac{1}{5} \ln(2)$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi \sqrt{3}}{15} - \frac{\ln 2}{5}$