以下の4つの等式を証明する問題です。ただし、$a$、$A$ は定数です。 (1) $(\log |x + \sqrt{x^2 + A}|)' = \frac{1}{\sqrt{x^2 + A}}$ ($A \neq 0$) (2) $(\frac{1}{2a} \log |\frac{x - a}{x + a}|)' = \frac{1}{x^2 - a^2}$ ($a \neq 0$) (3) $\{\frac{1}{2} (x\sqrt{a^2 - x^2} + a^2 \sin^{-1} \frac{x}{a})\}' = \sqrt{a^2 - x^2}$ ($a > 0$) (4) $\{\frac{1}{2} (x\sqrt{x^2 + A} + A \log |x + \sqrt{x^2 + A}|)\}' = \sqrt{x^2 + A}$ ($A \neq 0$)

わかりました。与えられた問題について、それぞれ証明します。

1. 問題の内容

以下の4つの等式を証明する問題です。ただし、$a$、$A$ は定数です。

(1) $(\log |x + \sqrt{x^2 + A}|)' = \frac{1}{\sqrt{x^2 + A}}$ ($A \neq 0$)

(2) $(\frac{1}{2a} \log |\frac{x - a}{x + a}|)' = \frac{1}{x^2 - a^2}$ ($a \neq 0$)

(3) $\{\frac{1}{2} (x\sqrt{a^2 - x^2} + a^2 \sin^{-1} \frac{x}{a})\}' = \sqrt{a^2 - x^2}$ ($a > 0$)

(4) $\{\frac{1}{2} (x\sqrt{x^2 + A} + A \log |x + \sqrt{x^2 + A}|)\}' = \sqrt{x^2 + A}$ ($A \neq 0$)

2. 解き方の手順

各等式の左辺を微分し、右辺と一致することを示します。

(1) $(\log |x + \sqrt{x^2 + A}|)'$

合成関数の微分公式を用います。

$u = x + \sqrt{x^2 + A}$ とおくと、$(\log |u|)' = \frac{u'}{u}$ です。

$u' = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2 + A}} \cdot 2x = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + A}} = \frac{\sqrt{x^2 + A} + x}{\sqrt{x^2 + A}}$

したがって、

$(\log |x + \sqrt{x^2 + A}|)' = \frac{u'}{u} = \frac{\frac{\sqrt{x^2 + A} + x}{\sqrt{x^2 + A}}}{x + \sqrt{x^2 + A}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + A}}$

(2) $(\frac{1}{2a} \log |\frac{x - a}{x + a}|)'$

$\frac{1}{2a}$ は定数なので、$\frac{1}{2a} (\log |\frac{x - a}{x + a}|)'$ を計算します。

対数の性質より、$\log |\frac{x - a}{x + a}| = \log |x - a| - \log |x + a|$

したがって、$(\log |x - a| - \log |x + a|)' = \frac{1}{x - a} - \frac{1}{x + a} = \frac{(x + a) - (x - a)}{(x - a)(x + a)} = \frac{2a}{x^2 - a^2}$

よって、$\frac{1}{2a} (\log |\frac{x - a}{x + a}|)' = \frac{1}{2a} \cdot \frac{2a}{x^2 - a^2} = \frac{1}{x^2 - a^2}$

(3) $\{\frac{1}{2} (x\sqrt{a^2 - x^2} + a^2 \sin^{-1} \frac{x}{a})\}'$

$\frac{1}{2}$ は定数なので、$\frac{1}{2} (x\sqrt{a^2 - x^2} + a^2 \sin^{-1} \frac{x}{a})'$ を計算します。

積の微分公式より、$(x\sqrt{a^2 - x^2})' = \sqrt{a^2 - x^2} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{a^2 - x^2}} \cdot (-2x) = \sqrt{a^2 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \frac{a^2 - x^2 - x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \frac{a^2 - 2x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}}$

$(\sin^{-1} \frac{x}{a})' = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{a})^2}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{\sqrt{\frac{a^2 - x^2}{a^2}}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{|a|}{\sqrt{a^2 - x^2}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{a}{\sqrt{a^2 - x^2}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}$

したがって、

$\{\frac{1}{2} (x\sqrt{a^2 - x^2} + a^2 \sin^{-1} \frac{x}{a})\}' = \frac{1}{2} (\frac{a^2 - 2x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} + a^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}) = \frac{1}{2} (\frac{a^2 - 2x^2 + a^2}{\sqrt{a^2 - x^2}}) = \frac{1}{2} (\frac{2a^2 - 2x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}}) = \frac{a^2 - x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \sqrt{a^2 - x^2}$

(4) $\{\frac{1}{2} (x\sqrt{x^2 + A} + A \log |x + \sqrt{x^2 + A}|)\}'$

$\frac{1}{2}$ は定数なので、$\frac{1}{2} (x\sqrt{x^2 + A} + A \log |x + \sqrt{x^2 + A}|)'$ を計算します。

積の微分公式より、$(x\sqrt{x^2 + A})' = \sqrt{x^2 + A} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2 + A}} \cdot 2x = \sqrt{x^2 + A} + \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + A}} = \frac{x^2 + A + x^2}{\sqrt{x^2 + A}} = \frac{2x^2 + A}{\sqrt{x^2 + A}}$

(1)の結果より、$(\log |x + \sqrt{x^2 + A}|)' = \frac{1}{\sqrt{x^2 + A}}$

したがって、

$\{\frac{1}{2} (x\sqrt{x^2 + A} + A \log |x + \sqrt{x^2 + A}|)\}' = \frac{1}{2} (\frac{2x^2 + A}{\sqrt{x^2 + A}} + A \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2 + A}}) = \frac{1}{2} (\frac{2x^2 + A + A}{\sqrt{x^2 + A}}) = \frac{1}{2} (\frac{2x^2 + 2A}{\sqrt{x^2 + A}}) = \frac{x^2 + A}{\sqrt{x^2 + A}} = \sqrt{x^2 + A}$

3. 最終的な答え

(1) $(\log |x + \sqrt{x^2 + A}|)' = \frac{1}{\sqrt{x^2 + A}}$

(2) $(\frac{1}{2a} \log |\frac{x - a}{x + a}|)' = \frac{1}{x^2 - a^2}$

(3) $\{\frac{1}{2} (x\sqrt{a^2 - x^2} + a^2 \sin^{-1} \frac{x}{a})\}' = \sqrt{a^2 - x^2}$

(4) $\{\frac{1}{2} (x\sqrt{x^2 + A} + A \log |x + \sqrt{x^2 + A}|)\}' = \sqrt{x^2 + A}$