以下の6つの積分問題を解きます。 (1) $\int \cos 4x \cos x dx$ (2) $\int x^7 e^{x^8 - 5} dx$ (3) $\int (x-1) \cos 8x dx$ (4) $\int_1^3 (4x^3 + \frac{7}{x}) dx$ (5) $\int_0^1 e^{4x} dx$ (6) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin \frac{x}{3} + \cos x) dx$

1. 問題の内容

以下の6つの積分問題を解きます。

(1) $\int \cos 4x \cos x dx$

(2) $\int x^7 e^{x^8 - 5} dx$

(3) $\int (x-1) \cos 8x dx$

(4) $\int_1^3 (4x^3 + \frac{7}{x}) dx$

(5) $\int_0^1 e^{4x} dx$

(6) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin \frac{x}{3} + \cos x) dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \cos 4x \cos x dx$：積和の公式 $\cos A \cos B = \frac{1}{2} (\cos(A+B) + \cos(A-B))$ を用いる。

$\int \cos 4x \cos x dx = \int \frac{1}{2} (\cos 5x + \cos 3x) dx = \frac{1}{2} (\frac{1}{5} \sin 5x + \frac{1}{3} \sin 3x) + C = \frac{1}{10} \sin 5x + \frac{1}{6} \sin 3x + C$

(2) $\int x^7 e^{x^8 - 5} dx$：置換積分を行う。$u = x^8 - 5$ とすると、$du = 8x^7 dx$。よって $\frac{1}{8} du = x^7 dx$。

$\int x^7 e^{x^8 - 5} dx = \int e^u \frac{1}{8} du = \frac{1}{8} \int e^u du = \frac{1}{8} e^u + C = \frac{1}{8} e^{x^8 - 5} + C$

(3) $\int (x-1) \cos 8x dx$：部分積分を行う。$u = x-1$, $dv = \cos 8x dx$ とすると、$du = dx$, $v = \frac{1}{8} \sin 8x$。

$\int (x-1) \cos 8x dx = (x-1) \frac{1}{8} \sin 8x - \int \frac{1}{8} \sin 8x dx = \frac{1}{8} (x-1) \sin 8x + \frac{1}{64} \cos 8x + C$

(4) $\int_1^3 (4x^3 + \frac{7}{x}) dx$：

$\int_1^3 (4x^3 + \frac{7}{x}) dx = [x^4 + 7 \ln|x|]_1^3 = (3^4 + 7 \ln 3) - (1^4 + 7 \ln 1) = (81 + 7 \ln 3) - (1 + 0) = 80 + 7 \ln 3$

(5) $\int_0^1 e^{4x} dx$：

$\int_0^1 e^{4x} dx = [\frac{1}{4} e^{4x}]_0^1 = \frac{1}{4} (e^4 - e^0) = \frac{1}{4} (e^4 - 1)$

(6) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin \frac{x}{3} + \cos x) dx$：

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin \frac{x}{3} + \cos x) dx = [-3 \cos \frac{x}{3} + \sin x]_0^{\frac{\pi}{2}} = (-3 \cos \frac{\pi}{6} + \sin \frac{\pi}{2}) - (-3 \cos 0 + \sin 0) = (-3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 1) - (-3 \cdot 1 + 0) = -\frac{3\sqrt{3}}{2} + 1 + 3 = 4 - \frac{3\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{10} \sin 5x + \frac{1}{6} \sin 3x + C$

(2) $\frac{1}{8} e^{x^8 - 5} + C$

(3) $\frac{1}{8} (x-1) \sin 8x + \frac{1}{64} \cos 8x + C$

(4) $80 + 7 \ln 3$

(5) $\frac{1}{4} (e^4 - 1)$

(6) $4 - \frac{3\sqrt{3}}{2}$