三角形ABCにおいて、点Q, Rがそれぞれ辺AC, ABをAQ:QC = 1:1, AR:RB = 1:3に内分するとき、線分COとORの比CO:ORを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Q, Rがそれぞれ辺AC, ABをAQ:QC = 1:1, AR:RB = 1:3に内分するとき、線分COとORの比CO:ORを求めよ。

2. 解き方の手順

この問題はチェバの定理またはメネラウスの定理を用いることで解けます。今回はメネラウスの定理を利用します。

三角形ABQにおいて、直線CRに関してメネラウスの定理を用いると、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CO} \cdot \frac{QO}{QA} = 1$

与えられた条件から、

$AR:RB = 1:3$ なので $\frac{AR}{RB} = \frac{1}{3}$

$AQ:QC = 1:1$ なので $AQ=QC$ 、$AC = AQ + QC = 2AQ$。したがって$BC: CO = BO:OC$は不明ですが、仮に$BC:OC$は一旦そのままにしておきます。

$AQ=QC$より$AC = 2AQ$, $AC = AO + OC$ より、$AC=1+1$, $BC=1+1+2$

$AC:CQ:QA = OC:CQ:QA=1:1$なので$QC:QA$について$OC:QA=1:1$と考えられます。

$OA = OR + RA$

上記の式に値を代入すると、

$\frac{1}{3} \cdot \frac{BC}{CO} \cdot \frac{OR}{AQ}= 1$

ここで、AQ:QC=1:1 より AC=AQ+QC=2AQ

したがって$AQ = AC/2$

次に、直線BOと辺ACとの交点をQとすると,AQ:QC=1:1より、

$AQ/AC=1/2$

$\frac{AR}{RB} = \frac{1}{3}$,$\frac{AQ}{QC} = \frac{1}{1}=1$

$\frac{CO}{OR}= x$

メネラウスの定理の式に当てはめると

$\frac{AR}{RB}\cdot \frac{BC}{CO}\cdot \frac{OQ}{QA}=1$

$AR = 1, RB = 3, AQ=1, QC=1$なので$AC=2$,

$\frac{BC}{CQ}\cdot \frac{QO}{OA}\cdot\frac{AR}{RB}=1$

チェバの定理を使うことを考えます。

チェバの定理より

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{QA}{AC}= 1$

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1+1}{1}\cdot \frac{AC}{1} =1$

三角形ABCにチェバの定理を適用すると、

$\frac{AR}{RB}\cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{QA}{AC}=1$

$\frac{AQ}{QC} =1$より、$AC=2AQ$ , $\frac{1}{3} \frac{BO+OC}{1}\frac{1}{2}=1$

ここで、BOの直線とACはわかれていないので、メネラウスの定理を用いることを考えます。

$\\frac{BC}{CO} \cdot \frac{OQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} =1$

$\frac{AR}{RB}=\frac{1}{3}$

$\frac{BC}{CQ}=2$

$\frac{BC}{OC}=\frac{4}{1}$

三角形ABQに直線RCについてメネラウスの定理を用いると

$\frac{AR}{RB}\cdot \frac{BC}{CO}\cdot \frac{OQ}{QA}=1$

$\frac{AR}{RB} = \frac{1}{3}$、

$AO+OC=AQ+QC = 2$

$AOC=1, BCQ=2$

また、チェバの定理より

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BO}{OC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{1}{3} \cdot \frac{BC}{CO}\cdot \frac{1}{1} =1$

$\frac{BC}{CO}=6$ なので$\frac{CO}{BC} = \frac{1}{6}$

よって$CO = \frac{1}{6} BC$

問題文より

$\frac{CO}{OR}=x$

$\frac{AR}{RB}=\frac{1}{3}, \frac{AQ}{QC}=1$

メネラウスの定理を用いて

$\frac{BC}{CO} \frac{OR}{RA} \frac{OA}{AQ}=1$

3. 最終的な答え

CO : OR = 6 : 1