三角形ABCにおいて、点Q, Rがそれぞれ辺AB, BCを2:3, 2:1の比に内分するとき、線分COとOQの比を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Q, Rがそれぞれ辺AB, BCを2:3, 2:1の比に内分するとき、線分COとOQの比を求めよ。

2. 解き方の手順

この問題はチェバの定理の逆を利用して解くことができます。

チェバの定理の逆とは、三角形ABCにおいて、辺BC, CA, AB上にそれぞれ点P, Q, Rがあるとき、$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} = 1$ ならば、線分AP, BQ, CRは1点で交わるというものです。

問題文より、BR:RC = 2:1、AQ:QB = 3:2です。

線分COとOQの比を求めるために、まず線分AOとORの比を求めます。

チェバの定理より、

$\frac{BR}{RC} \cdot \frac{CO}{OA} \cdot \frac{AQ}{QB} = 1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{CO}{OA} \cdot \frac{3}{2} = 1$

$3 \cdot \frac{CO}{OA} = 1$

$\frac{CO}{OA} = \frac{1}{3}$

よって、$\frac{OA}{CO} = 3$

$\frac{AO}{OC}=3$。したがって、$AO = 3CO$。

次に、メネラウスの定理を利用します。

三角形ABRにおいて、直線QOCについて、

$\frac{AQ}{QB} \cdot \frac{BC}{CR} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$

$\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{1} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$

$\frac{9}{2} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$

$\frac{RO}{OA} = \frac{2}{9}$

よって、$\frac{OA}{OR} = \frac{9}{2}$

$OA = \frac{9}{2} OR$

先程、$AO = 3CO$だったので、$3CO = \frac{9}{2} OR$となります。

この式から$OR = \frac{2}{3} CO$が得られます。

最後に、$CO:OQ$を求めるため、$CO = CR + RO$より

$CR+RO = CO$

$CO = \frac{3}{5} CO$

$OQ = CO - RO = CO - \frac{2}{3}CO = \frac{1}{3}CO$

$\frac{CO}{OQ} = \frac{CO}{\frac{1}{3}CO} = 3$

したがって、$CO:OQ = 3:1$

3. 最終的な答え

3:1