三角形ABCにおいて、点Q,Rが辺BC,ACをそれぞれBQ:QC = 2:1、AR:RC = 2:1に内分するとき、線分BOとORの比BO:ORを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Q,Rが辺BC,ACをそれぞれBQ:QC = 2:1、AR:RC = 2:1に内分するとき、線分BOとORの比BO:ORを求めよ。

2. 解き方の手順

この問題はチェバの定理とメネラウスの定理を利用して解くことができます。

まずはチェバの定理を用いて線分AOとOQの比を求めます。

次にメネラウスの定理を用いて線分BOとORの比を求めます。

ステップ1：チェバの定理の利用

三角形ABCにおいて、線分AQ, BR, CPが一点Oで交わるとき、以下のチェバの定理が成り立ちます。

$\frac{AR}{RC} \cdot \frac{CQ}{QB} \cdot \frac{BP}{PA} = 1$

この問題ではPはAB上の点ではないので、AP:PBは未知数です。

今回の問題では、線分AQ、BR、COが一点で交わっているのでチェバの定理が使えます。ただしCOは点Cから点Oを通ってどこかの点を通る線である必要があります。

チェバの定理を適用するには、点Pの定義が必要です。画像から線分COとABの交点をPとすると、

$\frac{AR}{RC} \cdot \frac{CQ}{QB} \cdot \frac{BP}{PA} = 1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{BP}{PA} = 1$

$\frac{BP}{PA} = 1$

よって、BP=PAとなります。

ここで、線分AOとOQの比を求めるために、三角形ACQと直線BRに注目し、メネラウスの定理を適用します。

$\frac{AR}{RC} \cdot \frac{CB}{BQ} \cdot \frac{QO}{OA} = 1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{QO}{OA} = 1$

$3 \cdot \frac{QO}{OA} = 1$

$\frac{QO}{OA} = \frac{1}{3}$

$\frac{AO}{OQ} = 3$

ステップ2：メネラウスの定理の利用

次に、三角形BCRと直線AQに注目し、メネラウスの定理を適用します。

$\frac{BQ}{QC} \cdot \frac{CA}{AR} \cdot \frac{RO}{OB} = 1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{RO}{OB} = 1$

$3 \cdot \frac{RO}{OB} = 1$

$\frac{RO}{OB} = \frac{1}{3}$

$\frac{OB}{OR} = 3$

よって、BO:OR = 3:1となります。

3. 最終的な答え

BO:OR = 3:1